(数学Ⅱ微分法)極大・極小 – 最大・最小との違い、極値が求めにくい場合の簡単な求め方

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積

5.　極大・極小

5.1　極大・極小

極大・極小とは要するに狭い範囲での山と谷

　以下では，$a<x<b$ といったような，両端の値が含まれない範囲で関数を考えることとする．

　例えば，$1.3<x<1.8$ における $f(x)=\sin x$ を考えてみよう．

　この範囲には $x=\dfrac\pi2(=1.57\cdots)$ が含まれているから，$f(x)=\sin x$ は $x=\dfrac\pi2$ で最大値 $1$ をとる．

　また，$x\neq\dfrac\pi2$ であるその他の $f(x)$ の値，例えば $f(1.5)$ や $f(1.6)$ は，1より小さな値となっている．

　つまり，$f\left(\dfrac\pi2\right)=1$ は $1.3<x<1.8$ の範囲での最大値であり，グラフは $x=\dfrac\pi2$ のところで山の頂上になっている．

　このような両端を含まないある狭い範囲における最大値を極大値といい，グラフをかくと，その部分で山の頂上になっている．

一般論

　一般に，関数 $f(x)$ について，$x=a$ を含むある開区間^*(下の (注) 参照)で

\[x\neq a\Rightarrow f(x)<f(a)\]

が成り立つとき，$f(x)$ は $x=a$ で極大になるといい，$f(a)$ を極大値という．

(注)　両端を含まない区間 $\{x\ |\ a<x<b\}$ を開区間という．
それに対して両端を含む区間 $\{x\ |\ a\leqq x\leqq b\}$ を閉区間という．

　似た言葉に最大値というものがあるが，最大値が全体の中で最も大きな値を指すのに対して，極大値は一部分の限られた範囲内で最も大きな値のことを指す．

　全国大会での優勝者が最大値とすれば，地方大会の優勝者が極大値であるといったイメージである．

　従って「極大値ならば最大値である」は必ずしもいえない．

極大をグラフで説明すると，それは山の頂上を指す

　上の説明において，何度か「開区間で」という条件，すなわち区間の両端の値を含まない場合を条件としてきたが，これは区間の両端の値で最大となる場合を排除するためである．

　例えば $f(x)=x^2$ の $1\leqq x\leqq2$ (閉区間)において，区間の端である $x=2$ で最大値4をとるが，この4を指して極大値とはいわない．

　極大とは大雑把にいうと，グラフが山の頂上になっているところであり，今の例では $x=2$ でグラフは山の頂上になっていない．

　ここまで極大と極大値について説明してきたが，極小及び極小値についても同様に定義される．

　極大値と極小値をあわせて極値という．

　極大・極小とは，要するにローカルでの最大・最小であるから，極大は必ずしも最大ではないし，極小も必ずしも最小ではない．また極大値より極小値の方が大きいという場合もある：

5.2　導関数と極大・極小

極値は接線の傾きの変化からも説明できる

　例えば $x=a$ で極大となるとき，グラフがそこで山の頂上になっているのであるから，$x=a$ のごく近くで $x=a$ の左側ではグラフは右上がり，右側では右下がりになっている．

　グラフが右上がりだと接線の傾きは正となり，右下がりだと接線の傾きは負となる．

　接線の傾きは導関数の符号で分かるのであるから，関数の極大・極小を次のように定義することもできる：

極値をとる候補は $f'(x)=0$ の解

　すぐ上の図からわかるように，$f(a)$ が極値ならば，点 $(a,f(a))$ における接線の傾きは0となるから次が成り立つ：

極値と微分係数$f(a)$ が極値 $\Longrightarrow f'(a)=0$

注意

　この逆は成り立たない．

反例　$f(x)=x^3+1$

\[f'(x)=3x^2\ \ (\geqq 0)\]

　よって，$f'(0)=0$．しかるに $f(0)$ は極値ではない．

例題1　関数 $y=-x^3+3x$ の極値を求め，グラフをかけ．

極値の計算が複雑…そんなときはこの方法でラクに計算！

例題2　関数 $y\!=\!x^3\!-\!3x^2\!-\!6x\!+\!5$ の極値を求めよ．

ポイント
　極値の計算が複雑のとき
　　→　$f(x)$ を $f'(x)$ で割って \[f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)\] 　　　　の形に！