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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

3. 接線

3.1 接線の方程式

 曲線 $y=f(x)$ 上の点 P$(a,f(a))$ における接線の傾きは $f'(a)$ となるから,Pにおける方程式は次のようになる:

接線の方程式 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線の方程式は\[y-f(a)=f'(a)(x-a)\]

例題 曲線 $y=x^2$ 上の点 $(1,1)$ における接線の方程式を求めよ.

 $f(x)=x^2$ とおくと,$f'(x)=2x$ より$f'(1)=2$.
 よって, \[y-1^2=2(x-1)\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{y=2x-1}}\]

2.2 曲線上にない点から引いた接線

例題 点$(0,2)$から曲線 $y=x^3$ に引いた接線の方程式,及び接点の座標を求めよ.

解法1 [接点からスタート]

 $y’=3x^2$ により,曲線上の点 $(t,t^3)$ における接線の方程式は, \[\begin{align*} y-t^3&=3t^2(x-t)\\[5pt] \therefore y&=3t^2x-2t^3 \end{align*}\]  これが点 $(0,2)$ を通るとき, \[\begin{align*} 2&=-2t^3\\[5pt] \therefore t&=-1 \end{align*}\]  よって,
  接線の方程式:$\underline{\boldsymbol{y=3x+2}}$
  接点の座標:$\underline{\boldsymbol{(-1,-1)}}$

解法2 [直線からスタート]

 点 $(0,2)$ を通る直線の方程式は,$y=mx+2$ とおける.
 ここで,接点,及び他の共有点の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ とすると, \[x^3-(mx+2)=(x-p)^2(x-q)\] という恒等式が成り立つ.よって右辺を展開して整理し,両辺の係数を比較すると, \[\left\{ \begin{array}{rl} 0=\!\!&-2p-q\\[5pt] -m=\!\!&p^2+2pq\\[5pt] -2=\!\!&-p^2q \end{array} \right.\]  これを解くと,$p=-1$,$q=2$,$m=3$.
 故に,
  接線の方程式:$\underline{\boldsymbol{y=3x+2}}$
  接点の座標:$\underline{\boldsymbol{(-1,-1)}}$


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数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

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1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
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4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
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