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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

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2. 導関数

2.1 導関数

例題 $f(x)\!=\!x^2$ の $x\!=\!a$ における微分係数を求めよ.

\[\begin{align*} f'(a)&=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-a^2}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{h(2a+h)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}(2a+h)\\[5pt] &=2a\\[5pt] \therefore f'(a)&=2a \end{align*}\]  ここで $a$ を $x$ におきかえて, \[f'(x)=2x\]  これを,$f(x)=x^2$ の導関数という.
 この式の $x$ に $1,2,\cdots$ を代入すると, \[\begin{align*} f'(1)&=2\cdot1=2\\[5pt] f'(2)&=2\cdot2=4\\[5pt] &\vdots \end{align*}\] のように微分係数が求められる.

 関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを,微分するという.

導関数の定義\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\]

補足

 $y=f(x)$ の導関数の表し方

\[f'(x),\ y’,\ \frac{dy}{dx},\ \frac d{dx}f(x)\]

例1 $f(x)=x$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac hh=\lim_{h\to0}1=1\end{align*}\]

例2 $f(x)=x^3$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac {h(3x^2+3xh+h^2)}h\\ &=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\end{align*}\]

2.2 $y=x^n$ の導関数

\[\begin{align*} (x)’&=1(=1x^0)\\[5pt] (x^2)’&=2x(=2x^1)\\[5pt] (x^3)’&=3x^2\\[5pt] &\vdots\\[5pt] (x^n)’&=nx^{n-1}\\[5pt] \end{align*}\]

 $n$を正の整数とすると,\[y=x^n\ \mbox{のとき},\ \ y’\!=\!nx^{n-1}\]

定数関数の導関数

 $y=c$ ($c$ は定数)の導関数

\[y’=\lim_{h\to0}\frac{c-c}h=\lim_{h\to0}0=0\]

\[y=C\ (C \mbox{は定数)のとき},\ \ y’\!=\!0\]

2.3 導関数の性質

\[\begin{align*}&[1]\ y\!=\!kf(x)\Rightarrow\ y’\!=\!kf'(x)\ \ \ (k \mbox{は定数)}\\[5pt] &[2]\ y\!=\!f(x)\!+\!g(x) \Rightarrow y’\!=\!f'(x)\!+\!g'(x)\end{align*}\]

※ 証明は数学Ⅲの 1. 微分係数と導関数 を参照.

例1 $y=x^3-5x^2+7x+4$ のとき,

\[\begin{align*} y’&=(x^3)’-(5x^2)’+(7x)’+(4)’\ \ (\because \mbox{性質}[2])\\[5pt] &=3x^2-5(x^2)’+7(x)’+0\ \ (\because \mbox{性質}[1])\\[5pt] &=3x^2-5\cdot2x+7\cdot1\\[5pt] &=3x^2-10x+7 \end{align*}\]

例2 $S=\pi r^2$ のとき,(←半径 $r$ の円の面積)

$\dfrac{dS}{dr}=\pi(r^2)’=\pi\cdot 2r=2\pi r$ (円周)


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