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高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
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1. 微分係数 | [無料] | |
2. 導関数 | [無料] | |
3. 接線 | [会員] | |
4. 関数の値の変化 | [会員] | |
5. 極大・極小 | [会員] | |
6. 関数のグラフと方程式・不等式 | [会員] |
7. 不定積分 | [無料] | |
8. 定積分 | [会員] | |
9. 様々な定積分 | [会員] | |
10. 面積 | [会員] |
2. 導関数
2.1 導関数
例題 $f(x)\!=\!x^2$ の $x\!=\!a$ における微分係数を求めよ.
\[\begin{align*} f'(a)&=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-a^2}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{h(2a+h)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}(2a+h)\\[5pt] &=2a\\[5pt] \therefore f'(a)&=2a \end{align*}\] ここで $a$ を $x$ におきかえて, \[f'(x)=2x\]
これを,$f(x)=x^2$ の導関数という.
この式の $x$ に $1,2,\cdots$ を代入すると,
\[\begin{align*}
f'(1)&=2\cdot1=2\\[5pt]
f'(2)&=2\cdot2=4\\[5pt]
&\vdots
\end{align*}\]
のように微分係数が求められる.
関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを,微分するという.
導関数の定義\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\]
補足
$y=f(x)$ の導関数の表し方には以下のような表記がよく用いられ,いずれも同じ意味である.
\[f'(x),\ y’,\ \frac{dy}{dx},\ \frac d{dx}f(x)\]
例1 $f(x)=x$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac hh=\lim_{h\to0}1=1\end{align*}\]
例2 $f(x)=x^3$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac {h(3x^2+3xh+h^2)}h\\ &=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\end{align*}\]
2.2 $y=x^n$ の導関数
\[\begin{align*} (x)’&=1(=1x^0)\\[5pt] (x^2)’&=2x(=2x^1)\\[5pt] (x^3)’&=3x^2\\[5pt] &\vdots\\[5pt] (x^n)’&=nx^{n-1}\\[5pt] \end{align*}\]
$n$を正の整数とすると,\[y=x^n\ \mbox{のとき},\ \ y’\!=\!nx^{n-1}\]
定数関数の導関数
$y=c$ ($c$ は定数)の導関数
\[y’=\lim_{h\to0}\frac{c-c}h=\lim_{h\to0}0=0\]
\[y=C\ (C \mbox{は定数)のとき},\ \ y’\!=\!0\]
2.3 導関数の性質
\[\begin{align*}&[1]\ y\!=\!kf(x)\Rightarrow\ y’\!=\!kf'(x)\ \ \ (k \mbox{は定数)}\\[5pt] &[2]\ y\!=\!f(x)\!+\!g(x) \Rightarrow y’\!=\!f'(x)\!+\!g'(x)\end{align*}\]
※ 証明は数学Ⅲの 1. 微分係数と導関数 を参照.
例1 $y=x^3-5x^2+7x+4$ のとき,
\[\begin{align*} y’&=(x^3)’-(5x^2)’+(7x)’+(4)’\ \ (\because \mbox{性質}[2])\\[5pt] &=3x^2-5(x^2)’+7(x)’+0\ \ (\because \mbox{性質}[1])\\[5pt] &=3x^2-5\cdot2x+7\cdot1\\[5pt] &=3x^2-10x+7 \end{align*}\]
例2 $S=\pi r^2$ のとき,(←半径 $r$ の円の面積)
$\dfrac{dS}{dr}=\pi(r^2)’=\pi\cdot 2r=2\pi r$ (円周)
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数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
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