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2. 導関数

2.1 導関数

 $f(x)\!=\!x^2$ の $x\!=\!a$ における微分係数は?

導関数の定義\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\]

補足

例1 $f(x)=x$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac hh=\lim_{h\to0}1=1\end{align*}\]

例2 $f(x)=x^3$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac {h(3x^2+3xh+h^2)}h\\ &=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\end{align*}\]

2.2 $y=x^n$ の導関数

 $n$を正の整数とすると,\[y=x^n\ \mbox{のとき},\ \ y’\!=\!nx^{n-1}\]

定数関数の導関数

\[y=C\ (C \mbox{は定数)のとき},\ \ y’\!=\!0\]

2.3 導関数の性質

\[\begin{align*}&[1]\ y\!=\!kf(x)\Rightarrow\ y’\!=\!kf'(x)\ \ \ (k \mbox{は定数)}\\[5pt] &[2]\ y\!=\!f(x)\!+\!g(x) \Rightarrow y’\!=\!f'(x)\!+\!g'(x)\end{align*}\]