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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2. 導関数

2.1 導関数

例題 $f(x)\!=\!x^2$ の $x\!=\!a$ における微分係数を求めよ.

\[\begin{align*} f'(a)&=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-a^2}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{h(2a+h)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}(2a+h)\\[5pt] &=2a\\[5pt] \therefore f'(a)&=2a \end{align*}\]  ここで $a$ を $x$ におきかえて, \[f'(x)=2x\]  これを,$f(x)=x^2$ の導関数という.
 この式の $x$ に $1,2,\cdots$ を代入すると, \[\begin{align*} f'(1)&=2\cdot1=2\\[5pt] f'(2)&=2\cdot2=4\\[5pt] &\vdots \end{align*}\] のように微分係数が求められる.

 関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを,微分するという.

導関数の定義\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\]

補足

 $y=f(x)$ の導関数の表し方

\[f'(x),\ yy’,\ \frac{dy}{dx},\ \frac d{dx}f(x)\]

例1 $f(x)=x$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac hh=\lim_{h\to0}1=1\end{align*}\]

例2 $f(x)=x^3$ のとき,\[\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac {h(3x^2+3xh+h^2)}h\\ &=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\end{align*}\]

2.2 $y=x^n$ の導関数

\[\begin{align*} (x)’&=1(=1x^0)\\[5pt] (x^2)’&=2x(=2x^1)\\[5pt] (x^3)’&=3x^2\\[5pt] &\vdots\\[5pt] (x^n)’&=nx^{n-1}\\[5pt] \end{align*}\]

 $n$を正の整数とすると,\[y=x^n\ \mbox{のとき},\ \ y’\!=\!nx^{n-1}\]

定数関数の導関数

 $y=c$ ($c$ は定数)の導関数

\[y’=\lim_{h\to0}\frac{c-c}h=\lim_{h\to0}0=0\]

\[y=C\ (C \mbox{は定数)のとき},\ \ y’\!=\!0\]

2.3 導関数の性質

\[\begin{align*}&[1]\ y\!=\!kf(x)\Rightarrow\ y’\!=\!kf'(x)\ \ \ (k \mbox{は定数)}\\[5pt] &[2]\ y\!=\!f(x)\!+\!g(x) \Rightarrow y’\!=\!f'(x)\!+\!g'(x)\end{align*}\]

※ 証明は数学Ⅲの 1. 微分係数と導関数 を参照.

例1 $y=x^3-5x^2+7x+4$ のとき,

\[\begin{align*} y’&=(x^3)’-(5x^2)’+(7x)’+(4)’\ \ (\because \mbox{性質}[2])\\[5pt] &=3x^2-5(x^2)’+7(x)’+0\ \ (\because \mbox{性質}[1])\\[5pt] &=3x^2-5\cdot2x+7\cdot1\\[5pt] &=3x^2-10x+7 \end{align*}\]

例2 $S=\pi r^2$ のとき,(←半径 $r$ の円の面積)

$\dfrac{dS}{dr}=\pi(r^2)’=\pi\cdot 2r=2\pi r$ (円周)


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