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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

9. 様々な定積分

この節には,一部数学Ⅲの内容が含まれます.

9.1 重要な定積分

重要な定積分\[\int_\alpha^\beta\!\!(x\!-\!\alpha)(x\!-\!\beta)dx\!=\!-\frac16(\beta\!-\!\alpha)^3\]

証明

\[\begin{align*} &\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[5pt] =&\int_\alpha^\beta (x-\alpha)\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\}\,dx\\[5pt] =&\int_\alpha^\beta \left\{(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha)\right\}\,dx\\[5pt] =&\left[\frac{(x-\alpha)^3}3-(\beta-\alpha)\cdot\frac{(x-\alpha)^2}2\right]_\alpha^\beta\ \ (\cdots\mbox{☆})\\[5pt] =&\frac{(\beta-\alpha)^3}3-\frac{(\beta-\alpha)^3}2\\[5pt] =&-\frac16(\beta-\alpha)^3 \end{align*}\]

注意

 (☆) のところで,数学Ⅲに出てくる積分の公式

\[\int(x+a)^n\,dx=\frac1{n+1}(x+a)^{n+1}+C\]

を利用した.(ただし $C$ は積分定数)
 この公式は数学Ⅱの範囲でも使える場面が案外多い.

補足

① 2次関数 $f(x)$ が,$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解でき,しかも $\alpha$ と $\beta$ が積分区間の両端にくるときに, \[\int_\alpha^\beta f(x)\,dx=-\frac16(\beta-\alpha)^3\] とできるのである.

② $\beta-\alpha$ は解と係数の関係により, \[|\beta-\alpha|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\] から計算するとラクな場合がある.

③ \[\begin{align*} \int_\alpha^\beta f(x)\,dx&=\underline{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx}\\[5pt] &=-\frac16(\beta-\alpha)^3 \end{align*}\] と因数分解した  の形,即ち公式の左辺の形を書いておくのが無難.

例1

\[\begin{align*} \int_{-1}^2(x^2-x-2)\,dx&=\int_{-1}^2(x+1)(x-2)\,dx\\[5pt] &=-\frac16\{2-(-1)\}^3\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{-\frac92}} \end{align*}\]

例2

 $2x^2-6x+1=0$ の2解を $\alpha,\beta$ $(\alpha <\beta)$ とおくと, \[\begin{align*} \int_\alpha^\beta (2x^2-6x+1)\,dx&=2\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[5pt] &=2\cdot\left\{-\frac16(\beta-\alpha)^3\right\}\\[5pt] &=-\frac13(\beta-\alpha)^3\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] \end{align*}\]  ここで解と係数の関係により, \[\alpha+\beta=3,\ \alpha\beta=\frac12\]  $\alpha <\beta$ より $\beta-\alpha>0$ であるから, \[\therefore \beta-\alpha=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt7\]  よって,①$=\underline{\boldsymbol{-\dfrac{7\sqrt7}3}}$

9.2 奇関数と偶関数の定積分

 奇関数と偶関数の定積分は数学Ⅲの内容であるが,結果だけでも知っておくと,計算を大幅に省力化できる.

奇関数

 任意の $x$ に対して, \[f(-x)=-f(x)\] が成り立つ関数.グラフは原点対称(点対称).

 $x,x^3,x^5,\sin x,\tan x$

偶関数

 任意の $x$ に対して, \[f(-x)=f(x)\] が成り立つ関数.グラフは $y$ 軸対称(線対称) .

 $x^2,x^4,5$(定数関数)$,\cos x$

 奇関数と偶関数の定積分について,積分区間の両端の絶対値が等しく,かつ異符号であるとき,次が成り立つ:

奇関数と偶関数の定積分\begin{align*} &f(x)\mbox{が奇関数のとき},\ \int_{-a}^a\!\!f(x)\,dx=0\\ &f(x)\mbox{が偶関数のとき},\ \int_{-a}^a\!\!f(x)\,dx=2\!\int_0^a\!\!f(x)\,dx \end{align*}

略証

(詳しくは,数学Ⅲの 5. 置換積分法(定積分) を参照.)

\[\begin{align*} \int_{-a}^a f(x)\,dx&=\underline{\int_{-a}^0 f(x)\,dx}+\int_0^a f(x)\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[5])\\[5pt] &=\underline{\int_0^a f(-x)\,dx}+\int_0^a f(x)\,dx \end{align*}\]  (下線部の変形で数学Ⅲに出てくる置換積分法を用いた.)

 $f(x)$ が奇関数 → (下線部)$\displaystyle=-\int_0^af(x)\,dx$
 $f(x)$ が偶関数 → (下線部)$\displaystyle=\int_0^af(x)\,dx$

補足

① 定数倍しても,関数の偶奇は変わらない.
   $4x$ は奇関数

② 偶奇が同じ関数どうしの和,差も偶奇は不変.
  例 $2x^3-5x$ は奇関数

③ (あ) (奇関数)×(奇関数)→(偶関数)
  (い) (偶関数)×(偶関数)→(偶関数)
  (う) (奇関数)×(偶関数)→(奇関数)
   (あ) $x\times x^3=x^4$
    (い) $x^2\times x^4=x^6$
    (う) $x\times x^2=x^3$

\[\begin{align*} &\int_{-3}^3(x^3+3x^2-6x-1)\,dx\\[5pt] =&\int_{-3}^3(x^3-6x)\,dx+\int_{-3}^3(3x^2-1)\,dx\\[5pt] =&2\int_0^3(3x^2-1)\,dx\\[5pt] =&2\Bigl[x^3-x\Bigr]_0^3\\[5pt] =&\underline{\boldsymbol{48}} \end{align*}\]


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数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

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1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
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10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.