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7. 不定積分

7.1 不定積分

まとめ 関数$f(x)$について,微分すると$f(x)$になる関数,すなわち\[F'(x)=f(x)\]を満たす関数$F(x)$を,$f(x)$の不定積分,または原始関数といい,\[\int\!f(x)dx\]で表す.  また,$f(x)$の不定積分の1つを$F(x)$とすると,\[\int\!f(x)dx\!=\!F(x)\!+\!C\ (C\mbox{は定数})\]であり,$C$を積分定数という.  関数$f(x)$の不定積分を求めることを,$f(x)$を積分するという.

 今後,「$C$は積分定数」という断りを省略することがある.

7.2 $x^n$の不定積分

 $n$が0以上の整数のとき,\[\int\!x^n dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C\ (C\mbox{は積分定数})\]

7.3 不定積分の性質

不定積分の性質\begin{align*} &[1]\ \int\!kf(x)dx\!=\!k\!\int\!f(x)dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int\!f(x)dx\!+\!\int\!g(x)dx \end{align*}

例1

例2 $f'(x)\!=\!3x^2\!-\!2x\!+\!1, f(1)\!=\!3$を満たす$f(x)$は?