高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数 | |||
| 2. 導関数 | |||
| 3. 接線 | |||
| 4. 関数の値の変化 | |||
| 5. 極大・極小 | |||
| 6. 関数のグラフと方程式・不等式 |
| 7. 不定積分 | |||
| 8. 定積分 | |||
| 9. 様々な定積分 | |||
| 10. 面積 |
7. 不定積分
7.1 不定積分
$x^2,x^2+1,x^2-3$ といった関数は，微分するといずれも $2x$ となる．このように，微分すると $2x$ になる関数を $2x$ の不定積分(ふていせきぶん)，または原始関数といい，
\[\int 2x\,dx\]
で表す．また，関数 $2x$ の不定積分を求めることを，$2x$ を積分するという．
先の例からもわかるように，$2x$ の不定積分は1つではなく，一般に $C$ を定数として $x^2+C$ の形の関数はすべて $2x$ の不定積分である．即ち
\[\int 2x\,dx=x^2+C\]
と書ける．定数 $C$ を積分定数という．
補足1
$\displaystyle\int$ は「インテグラル」と読み， $dx$ は普通に「ディー・エックス」と読む．
$\displaystyle\int 2x\,dx$
「インテグラル 2エックス ディー・エックス」
尚，$\displaystyle\int$ はアルファベットの $S$ を縦に引き伸ばした記号である．
補足2
”$dx$” は，「$x$ で積分する」の意味だが，2文字で1つの，単なる記号だという気持ちでよい．
このあとすぐに出てくるが， $x$ ではなく，例えば $t$ の関数 $t^2+5t-4$ を積分するときには
\[\int (t^2+5t-4)\,d\,\color{red}{t}\]
のように，”$dt$” に変わる．
まとめ 関数 $f(x)$ について，微分すると $f(x)$ になる関数，すなわち\[F'(x)=f(x)\]を満たす関数 $F(x)$ を，$f(x)$ の不定積分，または原始関数といい，\[\int\!f(x)\,dx\]で表す． また，$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とすると，\[\int\!f(x)\,dx\!=\!F(x)\!+\!C\ (C\mbox{は定数})\]であり，$C$ を積分定数という．関数 $f(x)$ の不定積分を求めることを，$f(x)$ を積分するという．
今後，「$C$は積分定数」という断りを省略することがある．
7.2 $x^n$の不定積分
数学Ⅱで学ぶ積分法においては，
\[1,\ x,\ x^2,\ x^3\]
の4つの不定積分がわかっていれば，困難に直面する機会はほぼないと思われる．
これらの不定積分がどういう関数なのか，確認していこう。
\[\begin{array}{rl}
(x)’=1\ \mbox{より} & \displaystyle\int 1\,dx=x+C\\[5pt]
\left(\dfrac{x^2}2\right)’=x\ \mbox{より} & \displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^2}2+C\\[5pt]
\left(\dfrac{x^3}3\right)’=x^2\ \mbox{より} & \displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}3+C\\[5pt]
\left(\dfrac{x^4}4\right)’=x^3\ より& \displaystyle\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}4+C
\end{array}\]
補足
$\displaystyle\int 1\,dx$ は，1を省略して $\displaystyle\int dx$ と書かれることがある．
まとめ
\[\begin{align*}
\int dx&=x+C\\[5pt]
\int x\,dx&=\dfrac{x^2}2+C\\[5pt]
\int x^2\,dx&=\dfrac{x^3}3+C\\[5pt]
\int x^3\,dx&=\dfrac{x^4}4+C
\end{align*}\]
ただし，$C$ は積分定数
一般に，$x^n$ の不定積分は次のようになる．
\[\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)’=x^n\ \Longrightarrow\ \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \]
$x^n$ の不定積分
$n$ が 0 以上の整数のとき，
$\displaystyle\int x^n\, dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C\ \ (C$ は積分定数)
7.3 不定積分の性質
不定積分の2つの性質
不定積分の性質として，次の2つが重要である：
不定積分の性質\begin{align*} &[1]\ \int\!kf(x)\,dx\!=\!k\!\int\!f(x)\,dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int\!f(x)\,dx\!+\!\int\!g(x)\,dx \end{align*}
この性質について，実際の計算上で困難を感じる者はほとんどいないであろう．
しかし，よくよく考えてみれば，これらの式は案外難しい．
通常「＝」の記号は，左辺と右辺が完全に一致しているという意味で用いられるが，ここでは「定数の差を無視して等しい」という意味なのである．
この点について教科書をよく見れば，小さな字で補足してあることが多いが，素通りしてしまいがちである．
より難しくいえば，関数の集合として一致する，つまり集合として等しいという意味であるが，こちらの表現の方がかえってわかりやすいという向きもあろう．
なぜこの2つの性質が成り立つかを詳細に
教科書であっさり書かれたこの性質を，詳細に説明する．
$f(x),\ g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x),\ G(x)$ とする．
即ち，
$F\,'(x)=f(x)$，$G\,'(x)=g(x)$
であり，同時に