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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

7. 不定積分

7.1 不定積分

 $x^2,x^2+1,x^2-3$ といった関数は,微分するといずれも $2x$ となる.このように,微分すると $2x$ になる関数を $2x$ の不定積分,または原始関数といい,

\[\int 2x\,dx\]

で表す.また,関数 $2x$ の不定積分を求めることを,$2x$ を積分するという.
 先の例からもわかるように,$2x$ の不定積分は1つではなく,一般に $C$ を定数として $x^2+C$ の形の関数はすべて $2x$ の不定積分である.即ち

\[\int 2x\,dx=x^2+C\]

と書ける.定数 $C$ を積分定数という.

まとめ 関数 $f(x)$ について,微分すると $f(x)$ になる関数,すなわち\[F'(x)=f(x)\]を満たす関数 $F(x)$ を,$f(x)$ の不定積分,または原始関数といい,\[\int\!f(x)\,dx\]で表す.  また,$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とすると,\[\int\!f(x)\,dx\!=\!F(x)\!+\!C\ (C\mbox{は定数})\]であり,$C$ を積分定数という.関数 $f(x)$ の不定積分を求めることを,$f(x)$ を積分するという.

 今後,「$C$は積分定数」という断りを省略することがある.

7.2 $x^n$の不定積分

\[\begin{array}{rl} (x)’=1\ \mbox{より} & \displaystyle\int 1\,dx=x+C\\[5pt] \left(\dfrac{x^2}2\right)’=x\ \mbox{より} & \displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^2}2+C\\[5pt] \left(\dfrac{x^3}3\right)’=x^2\ \mbox{より} & \displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}3+C\\[5pt] &\vdots\\[5pt] \left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)’=x^n\ \mbox{より} & \displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \end{array}\]

 $n$ が 0 以上の整数のとき,\[\int\!x^n dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C\ \ (C\mbox{は積分定数})\]

7.3 不定積分の性質

 $f(x), g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x), G(x)$ とする.(即ち,$F'(x)=f(x)$,$G'(x)=g(x)$)
 $k$ を定数として,

\[\begin{align*} \{kF(x)\}’&=kF'(x)=kf(x)\\[5pt] \{F(x)+G(x)\}’&=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) \end{align*}\]

 よって次が成立:

不定積分の性質\begin{align*} &[1]\ \int\!kf(x)dx\!=\!k\!\int\!f(x)dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int\!f(x)dx\!+\!\int\!g(x)dx \end{align*}

 ($C$ 及び $C_1$ は積分定数とする.)

\[\begin{align*} \int3x\,dx&=3\int x\,dx\\[5pt] &=3\left(\frac{x^2}2+C\right)\\[5pt] &=\frac32x^2+3C_1\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac32x^2+C}} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \int(3t^2-4t+1)dt&=3\int t^2\,dt-4\int t\,dt+\int dt\\[5pt] &=3\cdot\frac{t^3}3-4\cdot\frac{t^2}2+t+C\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{t^3-2t^2+t+C}} \end{align*}\]

例題 $f'(x)\!=\!3x^2\!-\!2x\!+\!1, f(1)\!=\!3$ を満たす $f(x)$ を求めよ.

\[\begin{align*} f(x)&=\int f'(x)\,dx\\[5pt] &=\int (3x^2-2x+1)dx\\[5pt] &=x^3-x^2+x+C\ \ (C\,\mbox{は積分定数}) \end{align*}\]  $f(1)=3$ より, \[1^3-1^2+1+C=3\ \ \therefore C=2\]  従って,$\underline{\boldsymbol{f(x)=x^3-x^2+x+2}}$


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