このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.

高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

8. 定積分

8.1 定積分

 $F(x)$ を $f(x)=2x+1$ の不定積分とすると, \[F(x)=\int f(x)\,dx=x^2+x+C\]  ここで例えば, \[\begin{align*} F(3)-F(1)&=(3^2+3+C)-(1^2+1+C)\\[5pt] &=10 \end{align*}\] と積分定数 $C$ によらない値となる.

 一般に,関数 $f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とするとき,$F(b)-F(a)$ は積分定数 $C$ によらない値となる.この $F(b)-F(a)$ を関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい, \[\int_a^b f(x)\,dx\] で表す.また,$F(b)-F(a)$ を \[\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b\] とも書く:

定積分 関数$f(x)$の不定積分の1つを$F(x)$とするとき,\[\int_a^b\!f(x)dx\!=\!\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b\!=\!F(b)\!-\!F(a)\]

補足1

 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ について,$a$ を下端,$b$ を上端という.

補足2

 $a\!<\!b,a\!=\!b,a\!>\!b$ のいずれの場合でも $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ は意味を持つ.

\[\begin{align*} &\int_{-1}^2\!\!(x^2\!-\!x\!+\!1)dx\!=\!\left[\frac{x^3}3\!-\!\frac{x^2}2\!+\!x\right]_{-1}^2\\ \!=&\left(\frac{2^3}3\!-\!\frac{2^2}2\!+\!2\right)\!-\!\left\{\!\frac{(-1)^3}3\!-\!\frac{(-1)^2}2\!+\!(-1)\!\right\}\\ \!=&\frac83\!-\!\left(-\frac{11}6\right)\!=\!\underline{\boldsymbol{\frac92}} \end{align*}\]

8.2 定積分の性質

定積分の性質1\begin{align*} &[1]\ \int_a^b\!kf(x)\,dx\!=\!k\!\int_a^b\!f(x)\,dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int_a^b\!\!f(x)dx\!+\!\!\int_a^b\!g(x)dx \end{align*}

証明

 $f(x),g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x),G(x)$ とする.

[1]

\[\begin{align*} \int_a^b kf(x)\,dx&=\Bigl[kF(x)\Bigr]_a^b\\[5pt] &=kF(b)-kF(a)\\[5pt] &=k\{F(b)-F(a)\}\\[5pt] &=k\int_a^b f(x)\,dx \end{align*}\]

[2]

\[\begin{align*} \int_a^b \{f(x)+g(x)\}\,dx&=\Bigl[F(x)+G(x)\Bigr]_a^b\\[5pt] &=\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\\[5pt] &=\{F(b)-F(a)\}+\{G(b)-G(a)\}\\[5pt] &=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx \end{align*}\]

例1

\[\begin{align*} \int_1^3 2x\,dx&=2\int_1^3 x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[1])\\[5pt] &=2\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_1^3\\[5pt] &=2\cdot\frac{3^2-1^2}2\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{8}} \end{align*}\]

例2

\[\begin{align*} &\int_{-1}^2 (x^2-x+1)\,dx\\[5pt] =&\int_{-1}^2 x^2\,dx-\int_{-1}^2 x\,dx+\int_{-1}^2 dx\ \ (\gets\mbox{性質}[2])\\[5pt] =&\Bigl[\frac{x^3}3\Bigr]_{-1}^2-\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_{-1}^2+\Bigl[x\Bigr]_{-1}^2\\[5pt] =&\frac{2^3-(-1)^3}3-\frac{2^2-(-1)^2}2+\{2-(-1)\}\\[5pt] =&3-\frac32+3\\[5pt] =&\underline{\boldsymbol{\frac92}} \end{align*}\]

定積分の性質2\begin{align*} &[3]\ \int_a^a\!\!f(x)dx\!=\!0\\ &[4]\ \int_b^a\!\!f(x)dx\!=\!-\int_a^b\!\!f(x)dx\\ &[5]\ \int_a^b\!\!f(x)dx\!=\!\int_a^c\!\!f(x)dx\!+\!\int_c^b\!\!f(x)dx \end{align*}

証明

 $f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする.

[3]

\[\begin{align*} \int_a^a f(x)\,dx&=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^a\\[5pt] &=F(a)-F(a)\\[5pt] &=0 \end{align*}\]

[4]

\[\begin{align*} \int_b^a f(x)\,dx&=\Bigl[F(x)\Bigr]_b^a\\[5pt] &=F(a)-F(b)\\[5pt] &=-\{F(b)-F(a)\}\\[5pt] &=-\int_a^b f(x)\,dx \end{align*}\]

[5]

\[\begin{align*} (\mbox{右辺})&=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^c+\Bigl[F(x)\Bigr]_c^b\\[5pt] &=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\[5pt] &=F(b)-F(a)\\[5pt] &=\int_a^b f(x)\,dx\\[5pt] &=(\mbox{左辺}) \end{align*}\]

\begin{align*} \int_2^{-1}\!\!\!\!x\,dx-\int_3^{-1}\!\!x\,dx&=\int_2^{-1}\!\!\!\!x\,dx+\int_{-1}^3\!\!x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[4])\\[5pt] &=\int_2^3\!\!x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[5])\\[5pt] &=\left[\frac{x^2}2\right]_2^3\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac52}} \end{align*}

8.3 定積分を含む関数

例題 $f(x)\!=\!x^2\!-\!3x\!+\!{\displaystyle\int_0^2}\!\!f(t)\,dt$ のとき,$f(x)$ を求めよ.

ポイント
 式中の定積分を $a$ (定数)とおいて,定積分を含まぬ形にする.
 ↓
$a$ の定積分を計算.

  $\displaystyle \int_0^2f(t)\,dt$ を $a$ (定数)とおくと,

$f(x)=x^2-3x+a\ \ \cdots$①

(一見,積分を含んだいかめしい形の与式は,馴染み深い単なる2次関数であった.)

 $a$ とおいた定積分を計算すると, \[\begin{align*} a&=\int_0^2 f(t)\,dt\\[5pt] &=\int_0^2(t^2-3t+a)\,dt\ \ (\because\mbox{①})\\[5pt] &=\Bigl[\frac{t^3}3-\frac32t^2+at\Bigr]_0^2\\[5pt] &=\frac83-6+2a\\[5pt] &=-\frac{10}3+2a \end{align*}\]

 従って,

\[\begin{align*} a&=-\frac{10}3+2a\\[5pt] \therefore a&=\frac{10}3 \end{align*}\]  よって①より, \[\underline{\boldsymbol{f(x)=x^2-3x+\frac{10}3}}\]

8.4 定積分と微分法

問題 $\displaystyle\frac d{dx}\int_1^x (2t+3)\,dt$ を計算せよ.

\[\begin{align*} \int_1^x (2t+3)\,dt&=\Bigl[t^2+3t\Bigr]_1^x\\[5pt] &=x^2+3x-4 \end{align*}\]

 よって,$\displaystyle\int_1^x (2t+3)\,dt$ は $x$ の2次関数である.この関数を $x$ で微分するのであるから,

\[\begin{align*} \frac d{dx}\int_1^x(2t+3)\,dt&=\frac d{dx}(x^2+3x-4)\\[5pt] &=2x+3 \end{align*}\]

 これは,$\displaystyle\int_1^x (2t+3)\,dt$ の被積分関数 $2t+3$ の $t$ を $x$ に置き換えたものである.

 一般に次が成り立つ:

\[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\ \ (a\,\mbox{は定数})\]

証明

 $f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする.(即ち,$F'(x)=f(x)$ )

\[\begin{align*} \int_a^x f(t)\,dt&=\Bigl[F(t)\Bigr]_a^x\\[5pt] &=F(x)-F(a) \end{align*}\]

 よって,

\[\begin{align*} \frac d{dx}\int_a^x f(t)\,dt&=\frac d{dx}\{F(x)-F(a)\}\\[5pt] &=\frac d{dx}F(x)-\frac d{dx}F(a)\\[5pt] &=f(x) \end{align*}\]

補足

① $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ は微分すると $f(x)$ になるから,$f(x)$ の1つの不定積分である.

② $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ は $x=a$ のとき, \[\int_a^a f(t)\,dt=0\ \ (\gets \mbox{性質3})\]

③ 上の証明から $a$ は定数であればどんな値でもよい.

例題 等式 $\displaystyle\int_a^x\!\!f(t)\,dt\!=\!x^2\!-\!3x\!+\!a$ を満たす関数 $f(x)$ と $a$ の値を求めよ.

\[\begin{align*} \frac d{dx}\int_a^x f(t)\,dt&=\frac d{dx}(x^2-3x*a)\\[5pt] &=2x-3 \end{align*}\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{f(x)=2x-3}}\]

 また,与式の両辺の $x$ を $a$ とおくと,

\[\begin{align*} \int_a^a f(t)\,dt&=a^2-3a+a\\ &=a^2-2a\\[5pt] &=a(a-2)\\[5pt] \therefore 0&=a(a-2) \end{align*}\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{a=0,2}}\]


高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.