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8. 定積分

8.1 定積分

定積分 関数$f(x)$の不定積分の1つを$F(x)$とするとき,\[\int_a^b\!f(x)dx\!=\!\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b\!=\!F(b)\!-\!F(a)\]

補足

 $a\!<\!b,a\!=\!b,a\!>\!b$ のいずれでもよい.

\begin{align*} &\int_{-1}^2\!\!(x^2\!-\!x\!+\!1)dx\!=\!\left[\frac{x^3}3\!-\!\frac{x^2}2\!+\!x\right]_{-1}^2\\ \!=&\left(\frac{2^3}3\!-\!\frac{2^2}2\!+\!2\right)\!-\!\left\{\!\frac{(-1)^3}3\!-\!\frac{(-1)^2}2\!+\!(-1)\!\right\}\\ \!=&\frac83\!-\!\left(-\frac{11}6\right)\!=\!\frac92 \end{align*}

8.2 定積分の性質

定積分の性質1\begin{align*} &[1]\ \int_a^b\!kf(x)dx\!=\!k\!\int_a^b\!f(x)dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int_a^b\!\!f(x)dx\!+\!\!\int_a^b\!g(x)dx \end{align*}

定積分の性質2\begin{align*} &[3]\ \int_a^a\!\!f(x)dx\!=\!0\\ &[4]\ \int_b^a\!\!f(x)dx\!=\!-\int_a^b\!\!f(x)dx\\ &[5]\ \int_a^b\!\!f(x)dx\!=\!\int_a^c\!\!f(x)dx\!+\!\int_c^b\!\!f(x)dx \end{align*}

\begin{align*} \int_2^{-1}\!\!\!\!xdx-\int_3^{-1}\!\!xdx&=\int_2^{-1}\!\!\!\!xdx+\int_{-1}^3\!\!xdx\ \ (\because [4])\\ &=\int_2^3\!\!xdx\ \ (\because [5])\\ &=\left[\frac{x^2}2\right]_2^3=\frac52 \end{align*}

8.3 定積分を含む関数

 $f(x)\!=\!x^2\!-\!3x\!+\!{\displaystyle\int_0^2}\!\!f(t)dt$ のとき,$f(x)$は?

8.4 定積分と微分法

\[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\ \ (a\mbox{は定数})\]

補足

 等式$\displaystyle\int_a^x\!\!f(t)dt\!=\!x^2\!-\!3x\!+\!a$を満たす関数$f(x)$と$a$の値は?