1. 微分係数(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

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6. 関数のグラフと方程式・不等式	[会員]

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1.　微分係数

1.1　平均変化率

変化の割合$=\dfrac{y\mbox{の増加量}}{x\mbox{の増加量}}$

　1次関数だと一定．しかし一般の関数では一定でない．

　　　　↓

　$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率：

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

補足

　平均変化率は，$f(x)$ のグラフ上の2点を結ぶ直線(図では直線AB)の傾きを表す．

例題　$f(x)=x^2$ のとき，$x$ が1から2まで変化したときの $f(x)$ の平均変化率を求めよ．

　平均変化率$=\dfrac{2^2-1^2}{2-1}=\underline{\boldsymbol{3}}$

1.2　極限値

　関数 $f(x)$ において，$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近付くとき，それに応じて $f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近付くならば，$\alpha$ を $x$ が $a$ に限りなく近付くときの $f(x)$ の極限値といい，

\[\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\]

または，

$x\to a$ のとき，$f(x)\to\alpha$

で表す．

例　$f(x)\!=\!x\!+\!1$のとき，\[\lim_{x\to1}f(x)=2\]

補足

　$f(x)=c$ ($c$ は定数) のとき，

\[\lim_{x\to a}f(x)=c\]

例

\[\lim_{x\to5}4=4\]

注意1

　例えば，$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ は，$x=1$ では定義されていない．そして $x\neq1$ では， \[f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\] 　よって， \[\lim_{x\to1}f(x)=1+1=2\] 　つまり，極限値とは関数 $f(x)$ が限りなく近付く値であって，「$f(x)$ がその値になる」訳では必ずしもない．

注意2

　極限値は存在しないこともある．例えば，$f(x)=\dfrac1x$のとき，${\displaystyle\lim_{x\to0}}f(x)$は存在しない．

1.3　微分係数

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

　ここで $a$ を固定する． \[\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] の極限値が存在するとき，この極限値を関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい， \[f'(a)\] で表す：

微分係数　関数 $f(x)$ について，$x\!=\!a$ における微分係数 $f'(a)$ は，\[f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

補足1

　$f'(a)$ は，$f(x)$ のグラフの $x=a$ における接線の傾きを表す．

補足2

　$b=a+h$ と書くと，$b\to a$ のとき $h\to 0$．よって，$f'(a)$ は次のようにも表せる：

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\]

例題1　$f(x)=3x+1$ のとき，$f'(2)$を求めよ．

\[\begin{align*} f'(2)&=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{\{3(2+h)+1\}-(3\cdot2+1)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{3h}h\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{3}} \end{align*}\]

例題2　$f(x)=x^2$ のとき，$f'(1)$を求めよ．

\[\begin{align*} \frac{f(1+h)-f(1)}h&=\frac{(1+h)^2-1^2}h\\[5pt] &=\frac{2h+h^2}h\\[5pt] &=2+h\to 2\ (h\to0)\\[5pt] \therefore f'(1)&=\underline{\boldsymbol{2}} \end{align*}\]

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