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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1. 微分係数

1.1 平均変化率

変化の割合$=\dfrac{y\mbox{の増加量}}{x\mbox{の増加量}}$

 1次関数だと一定.しかし一般の関数では一定でない.

    ↓

 $x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率:

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

補足

 平均変化率は,$f(x)$ のグラフ上の2点を結ぶ直線(図では直線AB)の傾きを表す.

例題 $f(x)=x^2$ のとき,$x$ が1から2まで変化したときの $f(x)$ の平均変化率を求めよ.

 平均変化率$=\dfrac{2^2-1^2}{2-1}=\underline{\boldsymbol{3}}$

1.2 極限値

 関数 $f(x)$ において,$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近付くとき,それに応じて $f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近付くならば,$\alpha$ を $x$ が $a$ に限りなく近付くときの $f(x)$ の極限値といい,

\[\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\]

または,

$x\to a$ のとき,$f(x)\to\alpha$

で表す.

 $f(x)\!=\!x\!+\!1$のとき,\[\lim_{x\to1}f(x)=2\]

補足

 $f(x)=c$ ($c$ は定数) のとき,

\[\lim_{x\to a}f(x)=c\]

\[\lim_{x\to5}4=4\]

注意1

 例えば,$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ は,$x=1$ では定義されていない.そして $x\neq1$ では, \[f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\]  よって, \[\lim_{x\to1}f(x)=1+1=2\]  つまり,極限値とは関数 $f(x)$ が限りなく近付く値であって,「$f(x)$ がその値になる」訳では必ずしもない

注意2

 極限値は存在しないこともある.例えば,$f(x)=\dfrac1x$のとき,${\displaystyle\lim_{x\to0}}f(x)$は存在しない.

1.3 微分係数

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

 ここで $a$ を固定する. \[\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] の極限値が存在するとき,この極限値を関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい, \[f'(a)\] で表す:

微分係数 関数 $f(x)$ について,$x\!=\!a$ における微分係数 $f'(a)$ は,\[f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

補足1

 $f'(a)$ は,$f(x)$ のグラフの $x=a$ における接線の傾きを表す.

補足2

 $b=a+h$ と書くと,$b\to a$ のとき $h\to 0$.よって,$f'(a)$ は次のようにも表せる:

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\]

例題1 $f(x)=3x+1$ のとき,$f'(2)$を求めよ.

\[\begin{align*} f'(2)&=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{\{3(2+h)+1\}-(3\cdot2+1)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{3h}h\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{3}} \end{align*}\]

例題2 $f(x)=x^2$ のとき,$f'(1)$を求めよ.

\[\begin{align*} \frac{f(1+h)-f(1)}h&=\frac{(1+h)^2-1^2}h\\[5pt] &=\frac{2h+h^2}h\\[5pt] &=2+h\to 2\ (h\to0)\\[5pt] \therefore f'(1)&=\underline{\boldsymbol{2}} \end{align*}\]


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1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
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10. 面積             【ノート

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