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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

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1. 微分係数

1.1 平均変化率

変化の割合$=\dfrac{y\mbox{の増加量}}{x\mbox{の増加量}}$

 1次関数だと一定.しかし一般の関数では一定でない.

    ↓

 $x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率:

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

補足

 平均変化率は,$f(x)$ のグラフ上の2点を結ぶ直線(図では直線AB)の傾きを表す.

例題 $f(x)=x^2$ のとき,$x$ が1から2まで変化したときの $f(x)$ の平均変化率を求めよ.

 平均変化率$=\dfrac{2^2-1^2}{2-1}=\underline{\boldsymbol{3}}$

1.2 極限値

 関数 $f(x)$ において,$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近付くとき,それに応じて $f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近付くならば,$\alpha$ を $x$ が $a$ に限りなく近付くときの $f(x)$ の極限値といい,

\[\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\]

または,

$x\to a$ のとき,$f(x)\to\alpha$

で表す.

 $f(x)\!=\!x\!+\!1$のとき,\[\lim_{x\to1}f(x)=2\]

補足

 $f(x)=c$ ($c$ は定数) のとき,

\[\lim_{x\to a}f(x)=c\]

\[\lim_{x\to5}4=4\]

注意1

 例えば,$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ は,$x=1$ では定義されていない.そして $x\neq1$ では, \[f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\]  よって, \[\lim_{x\to1}f(x)=1+1=2\]  つまり,極限値とは関数 $f(x)$ が限りなく近付く値であって,「$f(x)$ がその値になる」訳では必ずしもない

注意2

 極限値は存在しないこともある.例えば,$f(x)=\dfrac1x$のとき,${\displaystyle\lim_{x\to0}}f(x)$は存在しない.

1.3 微分係数

平均変化率 $=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

 ここで $a$ を固定する. \[\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] の極限値が存在するとき,この極限値を関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい, \[f'(a)\] で表す:

微分係数 関数 $f(x)$ について,$x\!=\!a$ における微分係数 $f'(a)$ は,\[f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

補足1

 $f'(a)$ は,$f(x)$ のグラフの $x=a$ における接線の傾きを表す.

補足2

 $b=a+h$ と書くと,$b\to a$ のとき $h\to 0$.よって,$f'(a)$ は次のようにも表せる:

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\]

例題1 $f(x)=3x+1$ のとき,$f'(2)$を求めよ.

\[\begin{align*} f'(2)&=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{\{3(2+h)+1\}-(3\cdot2+1)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to0}\frac{3h}h\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{3}} \end{align*}\]

例題2 $f(x)=x^2$ のとき,$f'(1)$を求めよ.

\[\begin{align*} \frac{f(1+h)-f(1)}h&=\frac{(1+h)^2-1^2}h\\[5pt] &=\frac{2h+h^2}h\\[5pt] &=2+h\to 2\ (h\to0)\\[5pt] \therefore f'(1)&=\underline{\boldsymbol{2}} \end{align*}\]


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