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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

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4. 関数の値の変化

4.1 単調性

 実数の集合 $\{x|a\leqq x\leqq b\}$ や,$\{x|a<x<b\}$ などを区間という.

 ある区間において,区間内の任意の $x_1, x_2$ について,

\[x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\]

が成り立つとき,$f(x)$ はその区間で単調に増加するという.

 同様に,ある区間において,

\[x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)\]

が成り立つとき,$f(x)$ はその区間で単調に減少するという.

4.2 増減表

 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と単調性について,次が成り立つ:

  ある区間で常に $f'(x)>0$
    $\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調増加
  ある区間で常に $f'(x)<0$
    $\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調減少
  ある区間で常に $f'(x)=0$
    $\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で定数

 つまり

$\boldsymbol{f(x)}$ の符号により,関数の増減がわかる

補足

  直感的にわかり易い内容であるが,厳密には証明が必要.詳しくは数学Ⅲの微分 9.関数の値の変化 を参照.

例題 関数 $y=x^2$ の増減を調べよ.

 $y’=2x$ により,$y’=0$ のとき $x=0$.

増減表

 よって,
   $x\leqq0$ で単調に減少する.
   $x\geqq0$ で単調に増加する.

補足

 境界である $x=0$ は単調増加にも単調減少にも含める.(詳しくは数学Ⅲの微分法における関数の値の変化を参照.)


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