高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
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1. 微分係数 | [無料] | |
2. 導関数 | [無料] | |
3. 接線 | [会員] | |
4. 関数の値の変化 | [会員] | |
5. 極大・極小 | [会員] | |
6. 関数のグラフと方程式・不等式 | [会員] |
7. 不定積分 | [無料] | |
8. 定積分 | [会員] | |
9. 様々な定積分 | [会員] | |
10. 面積 | [会員] |
4. 関数の値の変化
4.1 単調性
実数の集合 $\{x|a\leqq x\leqq b\}$ や,$\{x|a<x<b\}$ などを区間という.
ある区間において,区間内の任意の $x_1, x_2$ について,
\[x_1<x_2\ \Longrightarrow \ f(x_1)<f(x_2)\]
が成り立つとき,$f(x)$ はその区間で単調に増加するという.
同様に,ある区間において,
\[x_1<x_2\ \Longrightarrow \ f(x_1)>f(x_2)\]
が成り立つとき,$f(x)$ はその区間で単調に減少するという.
例えば関数 $y=x^2$ は,$x\leqq0$ において単調に減少し,$x\geqq0$ において単調に増加する.
単調性はグラフを考えるとわかりやすい.単調に増加する $x$ の区間ではグラフが右上がりで,単調に減少する $x$ の区間ではグラフは右下がりである.
4.2 増減表
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は,$f(x)$ のグラフについて接線の傾きの情報を与えていた.ある $x$ の区間で接線の傾きが常に正であれば,$f(x)$ のグラフはその区間で右上がりとなっているし,逆に接線の傾きが負となる区間では $f(x)$ のグラフは右下がりとなっている.従って次が成り立つ:
ある区間で常に $f'(x)>0$
$\Longrightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調に増加する
ある区間で常に $f'(x)<0$
$\Longrightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調に減少する
ある区間で常に $f'(x)=0$
$\Longrightarrow\ \ f(x)$ はその区間で定数である
つまり
$\boldsymbol{f'(x)}$ の符号を見れば,関数の増減がわかる
ということである.
補足
直感的にわかり易い内容であるが,厳密には証明が必要.詳しくは数学Ⅲの微分 9.関数の値の変化 を参照.
例題 関数 $y=x^2$ の増減を調べよ.
答
$y’=2x$ により,$y’=0$ のとき $x=0$.
$x$ の区間ごとの $y’$ や $y$ を次のような表にまとめるとわかりやすい:
この表を関数の増減表という.
この増減表により
$x\leqq0$ で単調に減少する.
$x\geqq0$ で単調に増加する.
補足
境界である $x=0$ は単調増加にも単調減少にも含める.(詳しくは数学Ⅲの微分法における関数の値の変化 を参照.)
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