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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

4. 関数の値の変化

4.1 単調性

 実数の集合 $\{x|a\leqq x\leqq b\}$ や,$\{x|a<x<b\}$ などを区間という.

 ある区間において,区間内の任意の $x_1, x_2$ について,

\[x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\]

が成り立つとき,$f(x)$ はその区間で単調に増加するという.

 同様に,ある区間において,

\[x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)\]

が成り立つとき,$f(x)$ はその区間で単調に減少するという.

4.2 増減表

 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と単調性について,次が成り立つ:

  ある区間で常に $f'(x)>0$
    $\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調増加
  ある区間で常に $f'(x)<0$
    $\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調減少
  ある区間で常に $f'(x)=0$
    $\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で定数

 つまり

$\boldsymbol{f(x)}$ の符号により,関数の増減がわかる

補足

  直感的にわかり易い内容であるが,厳密には証明が必要.詳しくは数学Ⅲの微分 9.関数の値の変化 を参照.

例題 関数 $y=x^2$ の増減を調べよ.

 $y’=2x$ により,$y’=0$ のとき $x=0$.

増減表

 よって,
   $x\leqq0$ で単調に減少する.
   $x\geqq0$ で単調に増加する.

補足

 境界である $x=0$ は単調増加にも単調減少にも含める.(詳しくは数学Ⅲの微分法における関数の値の変化を参照.)


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数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

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9. 様々な定積分         【ノート
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