4. 関数の値の変化(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

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1. 微分係数	[無料]
2. 導関数	[無料]
3. 接線	[会員]
4. 関数の値の変化	[会員]
5. 極大・極小	[会員]
6. 関数のグラフと方程式・不等式	[会員]

7. 不定積分	[無料]
8. 定積分	[会員]
9. 様々な定積分	[会員]
10. 面積	[会員]

4.　関数の値の変化

4.1　単調性

　実数の集合 $\{x|a\leqq x\leqq b\}$ や，$\{x|a<x<b\}$ などを区間という．

　ある区間において，区間内の任意の $x_1, x_2$ について，

\[x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\]

が成り立つとき，$f(x)$ はその区間で単調に増加するという．

　同様に，ある区間において，

\[x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)\]

が成り立つとき，$f(x)$ はその区間で単調に減少するという．

4.2　増減表

　関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と単調性について，次が成り立つ：

　　ある区間で常に $f'(x)>0$
　　　　$\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調増加
　　ある区間で常に $f'(x)<0$
　　　　$\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で単調減少
　　ある区間で常に $f'(x)=0$
　　　　$\Rightarrow\ \ f(x)$ はその区間で定数

　つまり

$\boldsymbol{f(x)}$ の符号により，関数の増減がわかる

補足

　　直感的にわかり易い内容であるが，厳密には証明が必要．詳しくは数学Ⅲの微分 9．関数の値の変化 を参照．

例題　関数 $y=x^2$ の増減を調べよ．

　$y’=2x$ により，$y’=0$ のとき $x=0$．

　よって，
　　　$x\leqq0$ で単調に減少する．
　　　$x\geqq0$ で単調に増加する．

補足

　境界である $x=0$ は単調増加にも単調減少にも含める．(詳しくは数学Ⅲの微分法における関数の値の変化を参照．)

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