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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

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6. 関数のグラフと方程式・不等式

6.1 グラフと方程式の関係

復習

$\left\{\begin{array}{ll} y=x^2-3x+2&(\mbox{放物線})\\[5pt] y=0&(x\,\mbox{軸}) \end{array}\right.\ \cdots$ ①

の共有点の $x$ 座標は

$x^2-3x+2=0$ (2次方程式) $\cdots$ ②

の実数解.

 逆に,方程式②の実数解は,①の2つのグラフの共有点の $x$ 座標.

補足

 ②の実数解は,①以外にもいろいろある.例えば, \[\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l} y=x^2-3x\\[5pt] y=-2 \end{array}\right.\\[5pt] &\left\{\begin{array}{l} y=x^2-2x+3\\[5pt] y=x+1 \end{array}\right. \end{align*}\] など.

6.2 関数のグラフと方程式

例題 $x^3-3x^2+1=0$ の解を調べよ.(「求めよ」は難しい.)

 与式の左辺を $f(x)$ とおくと, \[f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\]

 グラフより,負の解1個と正の解2個をもつ.

補足1

 例えば次のようなグラフでも増減表は上と同じ.

 そこで,「$f(-1)=-3<0$,$f(3)=1>0$」などと書き足せば完璧.(だが3次関数ではやり過ぎ.)

補足2

 増減表からではなく,単調な区間を用いて, \[f(-1)\!=\!-3,f(0)\!=\!1,f(2)\!=\!-3,f(3)\!=\!1\] により, \[-1\!<\!x\!<\!0,\ 0\!<\!x\!<\!2,\ 2\!<\!x\!<\!3\] の範囲にそれぞれ1個ずつ解をもつ,としてもよい.(詳しくは数学Ⅲの中間値の定理を参照)

補足3

 グラフからわかるように,3次方程式では

異なる3個の実数解をもつ
$\iff$ (極大値)×(極小値)$<0$

6.3 関数のグラフと不等式

・$f(x)\geqq0$ を示す
  → ($f(x)$ の最小値) $\geqq0$ を示す.
・$f(x)\geqq g(x)$ を示す
  → $F(x)=f(x)-g(x)$ とおいて,
      ($F(x)$ の最小値) $\geqq0$
    を示す.

例題 $x\!\geqq\!1$ のとき,不等式 $(x\!+\!1)^3\!\geqq\! 4x^2\!+\!4$ を示せ.

 $f(x)=(x+1)^3-(4x^2+4)$ $(x\geqq1)$ とおくと, \[\begin{align*} f(x)&=x^3-x^2+3x-3\\[5pt] \therefore f'(x)&=3x^2-2x+3\\[5pt] &=3\left(x-\frac13\right)^2+\frac83\\[5pt] &>0 \end{align*}\]  よって $f(x)$ は $x\geqq1$ で単調に増加するから, \[f(x)\geqq f(1)=0\]  故に,$x\geqq 1$ で $(x+1)^3\geqq 4x^2+4$


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