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高校数学ノート

数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

スライド↓      ノート↓
1. 微分係数 無料       【ノート
2. 導関数 無料        【ノート
3. 接線             【ノート
4. 関数の値の変化        【ノート
5. 極大・極小          【ノート
6. 関数のグラフと方程式・不等式 【ノート

7. 不定積分 無料       【ノート
8. 定積分            【ノート
9. 様々な定積分         【ノート
10. 面積             【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

6. 関数のグラフと方程式・不等式

6.1 グラフと方程式の関係

復習

$\left\{\begin{array}{ll} y=x^2-3x+2&(\mbox{放物線})\\[5pt] y=0&(x\,\mbox{軸}) \end{array}\right.\ \cdots$ ①

の共有点の $x$ 座標は

$x^2-3x+2=0$ (2次方程式) $\cdots$ ②

の実数解.

 逆に,方程式②の実数解は,①の2つのグラフの共有点の $x$ 座標.

補足

 ②の実数解は,①以外にもいろいろある.例えば, \[\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l} y=x^2-3x\\[5pt] y=-2 \end{array}\right.\\[5pt] &\left\{\begin{array}{l} y=x^2-2x+3\\[5pt] y=x+1 \end{array}\right. \end{align*}\] など.

6.2 関数のグラフと方程式

例題 $x^3-3x^2+1=0$ の解を調べよ.(「求めよ」は難しい.)

 与式の左辺を $f(x)$ とおくと, \[f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\]

 グラフより,負の解1個と正の解2個をもつ.

補足1

 例えば次のようなグラフでも増減表は上と同じ.

 そこで,「$f(-1)=-3<0$,$f(3)=1>0$」などと書き足せば完璧.(だが3次関数ではやり過ぎ.)

補足2

 増減表からではなく,単調な区間を用いて, \[f(-1)\!=\!-3,f(0)\!=\!1,f(2)\!=\!-3,f(3)\!=\!1\] により, \[-1\!<\!x\!<\!0,\ 0\!<\!x\!<\!2,\ 2\!<\!x\!<\!3\] の範囲にそれぞれ1個ずつ解をもつ,としてもよい.(詳しくは数学Ⅲの中間値の定理を参照)

補足3

 グラフからわかるように,3次方程式では

異なる3個の実数解をもつ
$\iff$ (極大値)×(極小値)$<0$

6.3 関数のグラフと不等式

・$f(x)\geqq0$ を示す
  → ($f(x)$ の最小値) $\geqq0$ を示す.
・$f(x)\geqq g(x)$ を示す
  → $F(x)=f(x)-g(x)$ とおいて,
      ($F(x)$ の最小値) $\geqq0$
    を示す.

例題 $x\!\geqq\!1$ のとき,不等式 $(x\!+\!1)^3\!\geqq\! 4x^2\!+\!4$ を示せ.

 $f(x)=(x+1)^3-(4x^2+4)$ $(x\geqq1)$ とおくと, \[\begin{align*} f(x)&=x^3-x^2+3x-3\\[5pt] \therefore f'(x)&=3x^2-2x+3\\[5pt] &=3\left(x-\frac13\right)^2+\frac83\\[5pt] &>0 \end{align*}\]  よって $f(x)$ は $x\geqq1$ で単調に増加するから, \[f(x)\geqq f(1)=0\]  故に,$x\geqq 1$ で $(x+1)^3\geqq 4x^2+4$


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数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法

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