高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第2章 微分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数と導関数 | [無料] | ||
| 2. 合成関数の導関数 | [無料] | ||
| 3. 逆関数の微分法 | [無料] | ||
| 4. 三角関数の導関数 | |||
| 5. 対数関数・指数関数の導関数 | |||
| 6. 媒介変数表示と導関数 | |||
| 7. 陰関数の導関数 | |||
| 8. 平均値の定理 | |||
| 9. 関数の値の変化 | |||
| 10. 関数の極大・極小 | |||
| 11. 関数のグラフ |
10．関数の極大・極小
10.1 極大・極小
極大・極小については数学Ⅱ で既出である．極大や極小については数学Ⅱの方で詳細に説明したのでそちらを参照されたい．
極大値・極小値の定義
関数 $f(x)$ は連続とする．
$x=a$ を含む開区間で，どんな $x\,(\neq a)$ についても
$f(a)>f(x)$ のとき，$f(a)$ を $f(x)$ の極大値
$f(a)<f(x)$ のとき，$f(a)$ を $f(x)$ の極小値
という．また，極大値と極小値をあわせて極値という．
注意
極大・極小は，微分可能性とは無関係である．例えば，関数$f(x)=|x|$ は，$x=0$ で微分可能ではないが，$x=0$ で極小となっている．
10.2 $f(a)$ が極値であるための必要条件
微分可能な関数 $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるとする．このとき $f'(a)=0$ が成り立つ．これは数学Ⅱの微分法のときにもお世話になっていたものである．$f'(a)=0$ は $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるための必要条件である．
定理 $f(x)$ が微分可能であるとき，
$f(a)$ が極値 $\Longrightarrow\ f'(a)=0$
発展的補足
$f(x)$ が整式の場合などほとんど明らかと思われるこの定理．実際教科書にも証明が書かれていない．しかし例えば次の関数は $x=0$ で極小となるが，$x=0$ の付近で無限回振動するから，本当に $f'(0)=0$ なのかは明らかではない．（この関数については次節10.3に詳細な説明有．）
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\left(\cos\dfrac1x+2\right)&(x\neq0)\\[5pt] 0&(x=0) \end{array}\right.\]
そこでこの定理を証明する．
証明
ある開区間で微分可能な関数 $f(x)$ が，区間内の $x=a$ で極大になるとすれば，区間内の任意の $x$ について
$f(x)\leqq f(a)\ \cdots$ ①
が成り立つ．$x=a$ で微分可能であるから
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]
となるが，①より左辺の分子は常に0以下であることに注意する．ここで $x\to a+0$ のとき，$x-a\to +0$ であるから
\[\lim_{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leqq 0\ \ \ \therefore f'(a)\leqq0\]
一方，$x\to a-0$ のとき，$x-a\to -0$ であるから
\[\lim_{x\to a-0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geqq 0\ \ \ \therefore f'(a)\geqq0\]
従って，$f'(a)\leqq0$ かつ $f'(a)\geqq0$ となるから， $f'(a)=0$．
$x=a$ で極小となる場合も同様である．
■
注意
逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない．
(反例) $f(x)=x^3$ のとき，$f'(x)=3x^2$ より $f'(0)=0$．しかるに $f(0)$ は極値ではない．
