5．軌跡と方程式【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

	スライド	ノート	問題
1. 座標平面上の点
2. 直線の方程式
3. 円の方程式
4. 円と直線
5. 軌跡と方程式
6. 不等式と領域

演習問題

解答

$$\{\begin{array}{l}x=a+b\\ y=ab\end{array}\cdots \text{①}$$

とおくと，条件式 $a^2+b^2+a+b=1$ は $(a+b{)}^2-2ab+(a+b)=1$ と変形できますから

$$x^2-2y+x=1$$

$$(\therefore y=\frac{1}{2}(x^2+x-1)\cdots \text{②})$$

と表せます．

（②の関係を満たすすべての点 $(x,y)$ がOKではありません。例えば②上の点として $(1,\frac{1}{2})$ がありますが，①より $a+b=1,ab=\frac{1}{2}$ となり，この式を同時に満たす実数$a,b$ は存在しません．実際，$a,b$ は${\displaystyle \frac{1\pm i}{2}}$ で虚数です．よって②でOKとなる範囲を調べましょう。）

　一方，①より $a,b$ は解と係数の関係から $t$ の2次方程式 $t^2-xt+y=0\cdots$③ の2解となりますから

$a,b$ が実数 $⟺$ ③の判別式 $x^2-4y\geqq 0$

　②を代入して

$$x^2-2(x^2+x-1)\geqq 0$$

$$x^2+2x-2\leqq 0$$

$$-1-\sqrt{3}\leqq x\leqq -1+\sqrt{3}$$

　以上により求める軌跡は

　放物線 $x^2-2y+x=1$ の $-1-\sqrt{3}\leqq x\leqq -1+\sqrt{3}$ の部分 $\cdots$（答）

解答

　$\mathrm{P}(X,Y)$，$\mathrm{Q}(x,y)$とおくと，P，Qは原点を通る同じ半直線上の点ですから

$$\{\begin{array}{l}X=tx\\ Y=ty\end{array}(t>0)\cdots \text{①}$$

とおけます．$\mathrm{O}\mathrm{P}\cdot \mathrm{O}\mathrm{Q}=20$ より

$$\sqrt{X^2+Y^2}\sqrt{x^2+y^2}=t(x^2+y^2)=20$$

　この式が成り立つとき $x^2+y^2\ne 0$ (即ち $(x,y)\ne (0,0)\cdots$ ③)となりますから $x^2+y^2$ で割って

$$t=\frac{20}{x^2+y^2}\cdots \text{②}$$

　また $X,Y$ は $x+y=5$ 上の点より $X+Y=5$．①を代入して

$$tx+ty=5\therefore t(x+y)=5$$ 　②を代入して $$\frac{20}{x^2+y^2}(x+y)=5$$

$$\therefore (x-2{)}^2+(y-2{)}^2=8$$
　従って③とから，求める軌跡は

　円 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=8$（ただし原点を除く） $\cdots$（答）

解答

　$\mathrm{P}(s,t)$ とします．Pを通る傾き $m$ の直線の方程式は

$$y-t=m(x-s)$$

$$\therefore y=mx-ms+t\cdots \text{①}$$

　これが放物線 $y=x^2$ と接するとき，$mx-ms+t=x^2$，即ち2次方程式 $x^2-mx+ms-t=0$ が重解をもちますから，判別式 $D=0$

$$D=m^2-4(ms-t)=0$$

$$\therefore m^2-4sm+4t=0\cdots \text{②}$$

　いま，②の2解を $m_1,m_2$ とすると，これらが接線①の傾きを表します．解と係数の関係から $m_1,m_2=4t$．よって直交条件より

$$m_1{m}_2=-1⟺4t=-1$$

$$\therefore t=-\frac{1}{4}$$

　従って求める軌跡は　直線 $y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdots$（答）

解答

(1)　$(x-a{)}^2+b=-x^2$ より

$2x^2-2ax+a^2+b=0$ …①

　$C$ と $D$ が異なる2点で交わるから，①の判別式を $D$ とすると $D>0$ より

$$D/4=(-a{)}^2–2(a^2+b)>0$$

$\therefore b<-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$ …②

　また，①の2解を $\alpha ,\beta$ とすると，解と係数の関係から $\alpha +\beta =a$， $\alpha \beta ={\displaystyle \frac{a^2+b}{2}}$ であり，2交点の $x$ 座標の差が1のとき， $|\alpha -\beta |=1$ の両辺を2乗して $(\alpha -\beta {)}^2=1$ となるから $(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =1$

　故に　$a^2-4\cdot {\displaystyle \frac{a^2+b}{2}}=1$

　従って　$b=-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$　(これは②を満たす．)

　よって求める軌跡は放物線 $b=-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

(2)　[実数解条件に帰着する解法]

　定数を $k$ として

$$(x-a{)}^2+b-y+k(x^2+y)=0$$

は，$C$ と $D$ の交点を通る図形を表す．$k=-1$ とおくと

$$(x-a{)}^2+b-y-(x^2+y)=0$$

　整理して　$2ax+2y-a^2-b=0$

　この方程式は直線を表すから，これが題意の直線である．(1)で得られた $b=-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を代入して

$$2ax+2y-a^2-(-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0$$

　整理して

$a^2-4xa-4y-1=0$　…③

　この直線が通過する領域を $R$ とすると，

　　点 $(X,Y)\in R$
$⟺a^2-4Xa-4Y-1=0$ を満たす実数 $a$ が存在する．
$⟺$ 判別式 $D/4=(-2X{)}^2-(-4Y-1)\geqq 0$
$⟺Y\geqq -X^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

　従って $y\geqq -x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ で表される領域が求めるものである．ただし，境界線を含む．

別解１　[ファクシミリの原理による解法]

　上の囲みの式③より　$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2-xa-{\displaystyle \frac{1}{4}}$　

　ここで $x=X$ に固定し，右辺を $a$ の関数とみて $f(a)$ とおく．

　平方完成して　$f(a)={\displaystyle \frac{1}{4}}(a-2X{)}^2-X^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

　(1)より $a$ は実数全体をとり得るから，$f(a)$ は $a=2X$ で最小値 $-X^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ をとり，最大値はない．つまり固定した $x=X$ に対して $f(a)$ の値域は $f(a)\geqq -X^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である．

　ここで固定していた $X$ を動かすと，求める領域は　$y\geqq -x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

　(図は省略)

別解２　[包絡線による解法]

　上の囲みの式③を $a$ の関数とみて平方完成すると

$(a-2x{)}^2-4y-4x^2-1=0$　…④

　よって直線③と曲線 $-4y-4x^2-1=0$ 即ち $y=-x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ は $x={\displaystyle \frac{a}{2}}$ で接する．実際，③即ち④と $-4y-4x^2-1=0$ を連立すると $(a-2x{)}^2=0$ 即ち ${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2=0$ となることから確かめられる．(図は省略)