高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

  スライド ノート
1. ファクシミリの原理    
2. バウムクーヘン分割    
3. 円と放物線    
4. 垂線の長さ    
5. 不定方程式    
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか    
7. 極方程式における r の正負について    
8. 極座標表示における扇形分割積分    
9. 素因数分解の一意性    
10. 三角関数の不定積分    
11. コーシー・シュワルツの不等式    
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積    
13. 整式の除法(発展編)    
14. 3次関数のグラフの特徴    
15. 曲線の長さを求める公式の証明について    
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法    
17. 同じものを含む円順列の考え方    
18. f(f(x))=x の形をした関数方程式の取り扱い方    
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域    
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル    

10．三角関数の不定積分

　このページにおいて，C はすべて積分定数であるとし，その断りを省略します．

　まず最も基本的な3つです．

[1] ∫sinxdx=−cosx+C[2] ∫cosxdx=sinx+C[3] ∫tanxdx=−log|cosx|+C

　[1],[2]は使用頻度が抜群で，忘れる人は少ないと思います．[3]も右辺を微分すれば正しさが確認できます．導出についてはこちらをご覧ください．

　ここではこれらに加えて2乗と3乗，及び1乗の逆数と2乗の逆数の積分について確認しておきます．難しいのはなんといっても[10]と[11]です．

[4] ∫sin2xdx=x2−14sin2x+C[5] ∫cos2xdx=x2+14sin2x+C[6] ∫tan2xdx=tanx−x+C[7] ∫sin3xdx=−cosx+cos3x3+C=−3cosx4+cos3x12+C[8] ∫cos3xdx=sinx−sin3x3+C=sin3x12+3sinx4+C[9] ∫tan3xdx=12cos2x+log|cosx|+C[10] ∫1sinxdx=12log1−cosx1+cosx+C[11] ∫1cosxdx=12log1+sinx1−sinx+C[12] ∫1tanxdx=log|sinx|+C[13] ∫1sin2xdx=−1tanx+C[14] ∫1cos2xdx=tanx+C[15] ∫1tan2xdx=−1tanx−x+C

証明

[4]　半角公式により，sin2x=1−cos2x2．

∴∫sin2xdx=∫1−cos2x2dx=x2−14sin2x+C.

[5]　半角公式により，cos2x=1+cos2x2．

∴∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx=x2+14sin2x+C.

[6]　1+tan2x=1cos2x により，tan2x=1cos2x−1.

∴∫tan2xdx=∫(1cos2x−1)dx=tanx−x+C.

　※[14]を用いました．

[7]

∫sin3xdx=∫(1−cos2x)sinxdx=∫(sinx−cos2xsinx)dx=∫{sinx+cos2x⋅(cosx)′}dx=−cosx+cos3x3+C

[別の導出法]