高校数学[総目次]
高校数学ワンポイント
10．三角関数の不定積分
このページにおいて，$C$ はすべて積分定数であるとし，その断りを省略します．
まず最も基本的な3つです．
\[\begin{align*}
&[1]\ \int\sin x\,dx=-\cos x+C\\[5pt]
&[2]\ \int\cos x\,dx=\sin x+C\\[5pt]
&[3]\ \int\tan x\,dx=-\log|\cos x|+C\\[5pt]
\end{align*}\]
[1],[2]は使用頻度が抜群で，忘れる人は少ないと思います．[3]も右辺を微分すれば正しさが確認できます．導出についてはこちらをご覧ください．
ここではこれらに加えて2乗と3乗，及び1乗の逆数と2乗の逆数の積分について確認しておきます．難しいのはなんといっても[10]と[11]です．
\[\begin{align*}
&[4]\ \int\sin^2x\,dx=\frac x2-\frac14\sin 2x+C\\[5pt]
&[5]\ \int\cos^2x\,dx=\frac x2+\frac14\sin 2x+C\\[5pt]
&[6]\ \int\tan^2x\,dx=\tan x-x+C\\[5pt]
&[7]\ \int\sin^3x\,dx=-\cos x+\frac{\cos^3 x}3+C\\[5pt]
&\hspace{26mm}=-\frac{3\cos x}4+\frac{\cos 3x}{12}+C\\[5pt]
&[8]\ \int\cos^3x\,dx=\sin x-\frac{\sin^3 x}3+C\\[5pt]
&\hspace{26mm}=\frac{\sin 3x}{12}+\frac{3\sin x}4+C\\[5pt]
&[9]\ \int\tan^3x\,dx=\frac1{2\cos^2 x}+\log|\cos x|+C\\[5pt]
&[10]\ \int\frac1{\sin x}\,dx=\frac12\log\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C\\[5pt]
&[11]\ \int\frac1{\cos x}\,dx=\frac12\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C\\[5pt]
&[12]\ \int\frac1{\tan x}\,dx=\log|\sin x|+C\\[5pt]
&[13]\ \int\frac1{\sin ^2x}\,dx=-\frac1{\tan x}+C\\[5pt]
&[14]\ \int\frac1{\cos ^2x}\,dx=\tan x+C\\[5pt]
&[15]\ \int\frac1{\tan ^2x}\,dx=-\frac1{\tan x}-x+C
\end{align*}\]
証明
[4] 半角公式により，$\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}2$．
\[\therefore\int\sin^2x\,dx=\int\frac{1-\cos 2x}2\,dx=\frac x2-\frac14\sin 2x+C.\]
[5] 半角公式により，$\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}2$．
\[\therefore\int\cos^2x\,dx=\int\frac{1+\cos 2x}2\,dx=\frac x2+\frac14\sin 2x+C.\]
[6] $1\!+\!\tan^2x\!=\!\dfrac1{\cos^2x}$ により，$\tan^2x\!=\!\dfrac1{\cos^2x}\!-\!1.$
\[\therefore\int\tan^2x\,dx=\int\left(\frac1{\cos^2x}-1\right)dx=\tan x-x+C.\]
※[14]を用いました．
[7]
\[\begin{align*}
\int\sin^3x\,dx&=\int(1-\cos^2 x)\sin x\,dx\\[5pt]
&=\int(\sin x-\cos^2 x\sin x)dx\\[5pt]
&=\int\{\sin x+\cos^2 x\cdot(\cos x)’\}dx\\[5pt]
&=-\cos x+\frac{\cos^3 x}3+C
\end{align*}\]
[別の導出法]