コーシー・シュワルツの不等式（ベクトル形と積分形及びその証明・応用例題)

高校数学ワンポイント

	スライド	ノート
1. ファクシミリの原理
2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f (f (x)) = x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル

11．コーシー・シュワルツの不等式

1．コーシー・シュワルツの不等式(ベクトル形)

　有名不等式として真っ先に思いつくのは，相加・相乗平均の関係式 でしょうが，次に挙げるコーシー・シュワルツの不等式も，名前こそ教科書には出てこないものの，この不等式が背後にあるといった問題は時折見かけます．また，単にシュワルツの不等式と呼ばれることも多いです．

　空間内の2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ のなす角を $θ$ とすると，

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$

ですが， $- 1 ≦ \cos θ ≦ 1$ ですから

$- | \vec{a} | | \vec{b} | ≦ \vec{a} \cdot \vec{b} ≦ | \vec{a} | | \vec{b} |$

即ち

$(0 ≦) | \vec{a} \cdot \vec{b} | ≦ | \vec{a} | | \vec{b} |$

となります．従って

$| \vec{a} \cdot \vec{b} |^{2} ≦ | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2}$

が成り立ちます． $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ として，両辺を成分で表せば，次のコーシー・シュワルツの不等式が得られます：

コーシー・シュワルツの不等式　 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ を実数とするとき， $(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3})^{2} ≦ ({a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}) ({b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + {b_{3}}^{2})$ が成り立つ．
　等号成立は， $a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0$ ，または $b_{1} = b_{2} = b_{3} = 0$ ，または $\frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} = \frac{b_{3}}{a_{3}}$ が成り立つときで，分母，分子の一方が0のとき，他方も0となる．

　等号が成立するのは $a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0$ ，または $b_{1} = b_{2} = b_{3} = 0$ のときは当然として，それ以外の場合は $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} |$ が成り立つ場合です．内積の定義に立ち返ると $| \cos θ | = 1$ となるときで，それは $θ = 0^{\circ}$ か $180^{\circ}$ のときです．このとき2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ は平行ですから， $\vec{b} = k \vec{a}$ となる実数 $k$ が存在し，成分で書き表すと，

$(b_{1}, b_{2}, b_{3}) = k (a_{1}, a_{2}, a_{3})$

従って

$b_{1} = k a_{1}, b_{2} = k a_{2}, b_{3} = k a_{3} \dots ①$

です． $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ がいずれも0でなければ

$\frac{b_{1}}{a_{1}} = k, \frac{b_{1}}{a_{1}} = k, \frac{b_{1}}{a_{1}} = k$

となって

$\frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} = \frac{b_{3}}{a_{3}}$

を得ます．どれか1つの成分が0であれば，対応する成分も0でなければならないことは，①を見れば理解できます．

補足

　実はこの不等式は

$\begin{aligned} (a_{1} b_{1} + & a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})^{2} \\ ≦ ({a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + \dots + {a_{n}}^{2}) ({b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + \dots + {b_{n}}^{2}) \end{aligned}$

というように任意の自然数 $n$ でも成り立ちます．

例題　 $x + 2 y + 3 z = 4$ のとき， $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ の最小値を求めよ．

答

　いろいろな解法が考えられますが，コーシー・シュワルツの不等式を使ってみます．

　 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (x, y, z)$ として，

$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = x + 2 y + 3 z \\ | \vec{a} |^{2} & = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} \\ | \vec{b} |^{2} & = x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{aligned}$

となりますから，コーシー・シュワルツの不等式により

$(x + 2 y + 3 z)^{2} ≦ (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2})$

$∴ 4^{2} ≦ 14 (x^{2} + y^{2} + z^{2})$

$∴ x^{2} + y^{2} + z^{2} ≧ \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$

　等号が成立するのは，

$\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ かつ $x + 2 y + 3 z = 4$

　即ち $x = \frac{2}{7}, y = \frac{4}{7}, z = \frac{6}{7}$ のときです．

　従って $x = \frac{2}{7}, y = \frac{4}{7}, z = \frac{6}{7}$ のとき，最小値 $\frac{2}{7}$ をとることがわかります．

2．コーシー・シュワルツの不等式(積分形)

　まず次の例題をご覧ください．

例題　 $p, q$ を定数とするとき，次の不等式を証明せよ．
${(\int_{0}^{1} (x + p) (x + q) d x)}^{2} ≦ \int_{0}^{1} (x + p)^{2} d x \int_{0}^{1} (x + q)^{2} d x$

　これを単なる計算問題とみれば，次のように証明されます：

$(左辺) = \dots = {(\frac{1}{3} + \frac{p + q}{2} + p q)}^{2}$

　また右辺については

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} (x + p)^{2} d x = \dots = \frac{1}{3} + p + p^{2} \\ \int_{0}^{1} (x + q)^{2} d x = \dots = \frac{1}{3} + q + q^{2} \end{aligned}$

　となり，

$(右辺) - (左辺) = \dots = \frac{1}{12} (p - q)^{2} ≧ 0$

として証明が完了します．等号成立は $p = q$ のときです．

　さて、次が積分形のコーシー・シュワルツの不等式です．

コーシー・シュワルツの不等式　閉区間 $[a, b]$ で連続な関数 $f (x), g (x)$ について， ${(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} ≦ \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x \int_{a}^{b} {g (x)}^{2} d x .$ が成り立つ．等号成立は， $a ≦ x ≦ b$ で常に $f (x) = 0$ ，又は $g (x) = 0$ ，又は $g (x) = t f (x) (t$ は定数)のとき．

　この定理を認めるならば，先の例題は，この不等式において $f (x) = x + p$ ， $g (x) = x + q$ ， $a = 0$ ， $b = 1$ とした特別な場合にすぎないことがわかります．

証明

　それでは証明を見ていきましょう．

　 $a ≦ x ≦ b$ で常に $f (x) = 0$ ，または $g (x) = 0$ のとき，コーシー・シュワルツの不等式の両辺はともに0となりますから成り立ちます．従って以下では $f (x)$ も $g (x)$ も恒等的に0でない場合を考えます．

　 $t$ を実数として，常に ${t f (x) + g (x)}^{2} ≧ 0$ ですから，

$\int_{a}^{b} {t f (x) + g (x)}^{2} d x ≧ 0$

が成り立ちます．詳しくはこちらの定理 を確認してください．これが任意の $t$ で常に成り立つという事実があとで効いてきます．

　展開すると，

$\int_{a}^{b} (t^{2} f^{2} + 2 t f g + g^{2}) d x ≧ 0$

※ $f (x), g (x)$ のうしろの「 $(x)$ 」を省略しました．

となります．

　次に積分を分けます．積分変数は $x$ ですから， $t$ は定数扱いです．よって積分の前に出しておきます．

$t^{2} \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x + 2 t \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x + \int_{a}^{b} {g (x)}^{2} d x ≧ 0$

　この式の定積分はすべて定数です．いま見やすさのために， $A = \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x$ ， $B = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ ， $C = \int_{a}^{b} {g (x)}^{2} d x$ とおきますと，

$A t^{2} + 2 B t + C ≧ 0 \dots ①$

という具合にすっきりと書けます．これは常に成り立つ不等式であることを再度強調しておきます．

　 $f (x)$ は恒等的に0ではありませんから $A > 0$ です．(詳しくはこちらの定理 を確認してください．）従って①は，任意の実数 $t$ で成り立つ2次の不等式です．すると係数 $A$ ， $B$ ， $C$ の間には， $t$ の2次方程式 $A t^{2} + 2 B t + C = 0$ の判別式を $D$ としたとき， $D / 4 ≦ 0$ ，即ち

$B^{2} - A C ≦ 0$

$∴ B^{2} ≦ A C$

という関係が成り立っているはずです．これはコーシー・シュワルツの不等式に他なりません．

　等号が成立する場合，即ち $B^{2} = A C$ が成り立つ場合を考えてみましょう．

　放物線 $y = A t^{2} + 2 B t + C$ は，先ほど強調したように $y ≧ 0$ が保証されていました．

　もし $D / 4 = B^{2} - A C < 0$ ならば， $y > 0$ となり，放物線は $t$ 軸より上側にあります．

　一方，私たちが関心のある $B^{2} = A C$ 即ち $(D / 4 =) B^{2} - A C = 0$ であれば，放物線 $y = A t^{2} + 2 B t + C$ はある $t = t_{0}$ で $t$ 軸に接しています．これは $A {t_{0}}^{2} + 2 B t_{0} + C = 0$ となる実数 $t_{0}$ が存在しているということで，元をたどれば

$\int_{a}^{b} {t_{0} f (x) + g (x)}^{2} d x = 0$

が成り立っているということですから，閉区間 $[a, b]$ で常に $t_{0} f (x) + g (x) = 0$ ，つまり $g (x) = - t_{0} f (x)$ が成り立つときです．詳しくはこちらの定理 の等号成立条件を確認してください．

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11. コーシー・シュワルツの不等式【ノート】1人で学べる！高校数学

11．コーシー・シュワルツの不等式

1．コーシー・シュワルツの不等式(ベクトル形)

補足

2．コーシー・シュワルツの不等式(積分形)

証明

11. コーシー・シュワルツの不等式【ノート】
1人で学べる！高校数学