コーシー・シュワルツの不等式（ベクトル形と積分形及びその証明・応用例題) | 高校数学

高校数学ワンポイント

	スライド	ノート
1. ファクシミリの原理
2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル

11．コーシー・シュワルツの不等式

1．コーシー・シュワルツの不等式(ベクトル形)

　有名不等式として真っ先に思いつくのは，相加・相乗平均の関係式 でしょうが，次に挙げるコーシー・シュワルツの不等式も，名前こそ教科書には出てこないものの，この不等式が背後にあるといった問題は時折見かけます．また，単にシュワルツの不等式と呼ばれることも多いです．

　空間内の2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ のなす角を $\theta$ とすると，

$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$

ですが， $-1\leqq\cos\theta\leqq1$ ですから

$-|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\leqq\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|$

即ち

$(0\leqq)\ |\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|$

となります．従って

$|\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|^2\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2$

が成り立ちます． $\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2,a_3)$ ， $\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2,b_3)$ として，両辺を成分で表せば，次のコーシー・シュワルツの不等式が得られます：

　 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ を実数とするとき，
$(a_1b_1\!+\!a_2b_2\!+\!a_3b_3)^2\!\leqq\!({a_1}^2\!+\!{a_2}^2\!+\!{a_3}^2)({b_1}^2\!+\!{b_2}^2\!+\!{b_3}^2)$
が成り立つ．
　等号成立は， $a_1=a_2=a_3=0$ ，または $b_1=b_2=b_3=0$ ，または
$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}$
が成り立つときで，分母，分子の一方が0のとき，他方も0となる．

　等号が成立するのは $a_1=a_2=a_3=0$ ，または $b_1=b_2=b_3=0$ のときは当然として，それ以外の場合は $|\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|=|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|$ が成り立つ場合です．内積の定義に立ち返ると $|\cos\theta|=1$ となるときで，それは $\theta=0^\circ$ か $180^\circ$ のときです．このとき2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ は平行ですから， $\overrightarrow{\mathstrut b}=k\overrightarrow{\mathstrut a}$ となる実数 $k$ が存在し，成分で書き表すと，

$(b_1,b_2,b_3)=k(a_1,a_2,a_3)$

従って

$b_1=ka_1,\ b_2=ka_2,\ b_3=ka_3\ \ \cdots\mbox{①}$

です． $a_1,a_2,a_3$ がいずれも0でなければ

$\frac{b_1}{a_1}=k,\ \frac{b_1}{a_1}=k,\ \frac{b_1}{a_1}=k$

となって

$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}$

を得ます．どれか1つの成分が0であれば，対応する成分も0でなければならないことは，①を見れば理解できます．

補足

　実はこの不等式は

$\begin{align*} (a_1b_1+&a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\\[5pt] &\leqq({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2) \end{align*}$

というように任意の自然数 $n$ でも成り立ちます．

例題　 $x+2y+3z=4$ のとき， $x^2+y^2+z^2$ の最小値を求めよ．

解答例を見る

　いろいろな解法が考えられますが，コーシー・シュワルツの不等式を使ってみます．

　 $\overrightarrow{\mathstrut a}=(1,2,3)$ ， $\overrightarrow{\mathstrut b}=(x,y,z)$ として，

$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}&=x+2y+3z\\[5pt] |\overrightarrow{\mathstrut a}|^2&=1^2+2^2+3^2\\[5pt] |\overrightarrow{\mathstrut b}|^2&=x^2+y^2+z^2 \end{align*}$

となりますから，コーシー・シュワルツの不等式により

$(x+2y+3z)^2\leqq(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)$
$\therefore 4^2\leqq 14(x^2+y^2+z^2)$
$\therefore x^2+y^2+z^2\geqq\frac{16}{14}=\frac87$

　等号が成立するのは，

$\dfrac x1=\dfrac y2=\dfrac z3$ かつ $x+2y+3z=4$

　即ち $x=\dfrac27,\ y=\dfrac47,\ z=\dfrac67$ のときです．

　従って $\boldsymbol{x=\dfrac27,\ y=\dfrac47,\ z=\dfrac67}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{\dfrac27}$ をとることがわかります．

2．コーシー・シュワルツの不等式(積分形)

　まず次の例題をご覧ください．

例題　 $p,q$ を定数とするとき，次の不等式を証明せよ．
$\left(\int_0^1\!\!(x\!+\!p)(x\!+\!q)dx\right)^2\!\leqq\!\int_0^1\!\!(x\!+\!p)^2dx\int_0^1\!\!(x\!+\!q)^2dx$

　これを単なる計算問題とみれば，次のように証明されます：