高校数学[総目次]
高校数学ワンポイント
13．整式の除法(発展編)
整式の除法については数学Ⅱ第1章 式と証明の1．整式の除法で基本的なことを学びました．また，数学Ⅱ第2章 複素数と方程式の4．剰余の定理・因数定理では，整式の除法における余りについて学びました．ここではこれらの発展的な問題について説明します．
例題 xx の整式 f(x)f(x) を (x+1)2(x+1)2 で割ると余りが 2x−22x−2 で，(x+2)2(x+2)2 で割ると余りが 3x−13x−1 であるという．f(x)f(x) を次の式で割った余りを求めよ．
(1) x+1x+1
(2) x+2x+2
(3) (x+1)2(x+2)(x+1)2(x+2)
(4) (x+1)2(x+2)2(x+1)2(x+2)2
答
(1),(2)
f(x)f(x) を (x+1)2(x+1)2 で割ると余りが 2x−22x−2 ですから，Q(x)Q(x) を整式として
f(x)=(x+1)2Q(x)+2x−2f(x)=(x+1)2Q(x)+2x−2
と表せます．Q(x)Q(x) をこの割り算の商といいます．
剰余の定理によれば，f(x)f(x) を x+1x+1 で割った余りは f(−1)f(−1) ですから，
f(−1)=02⋅Q(−1)+2⋅(−1)−2=−4.f(−1)=02⋅Q(−1)+2⋅(−1)−2=−4.
従って(1)の余りは −4−4 です．同様にして(2)は f(−2)=3⋅(−2)−1=−7f(−2)=3⋅(−2)−1=−7 から余りは −7−7 となります．
(1)(2)のこたえ (1) −4−4 (2) −7−7
別解
さて，のちの発展問題に対処するため，この問題を別の方法でも解いてみます．
f(x)f(x) を x+1x+1 で割ることを考える際，(x+1)2Q(x)(x+1)2Q(x) の部分は x+1x+1 で割り切れますから
f(x) を x+1 で割った余りは 2x−2 を x+1 で割った余りに等しい
ということがいえます．これをもっと簡単な例でいうと，24÷7 の余りを求めたいとき，
24=7×2+10
と変形したとして，7×2 の部分は 7 で割り切れますから，あとは残った 10 を 7 で割った余りを考えればよいということです．合同式の考え方と同じですね．
2x−2=2(x+1)−4 ですから，f(x) を x+1 で割った余りは −4 です．
同様にして，
f(x)=(x+2)2(x の整式)+3x−1
ですから，f(x) を x+2 で割った余りは 3x−1 を x+2 で割った余りに等しく，
3x−1=3(x+2)−7
と変形できますから余りは −7 です．
ここで大切なことは，
f(x)=g(x)h(x)+r(x) と変形できるとき，f(x) を g(x) で割った余りは，r(x) を g(x) で割った余りに等しい
ということです．
(3)
f(x) を (x+1)2(x+2) で割った余りを R(x) とすれば，
f(x)=(x+1)2(x+2)(x の整式)+R(x)
と表せます．そして既存の式から上の式を作り出すことを考えます．
f(x)=(x+1)2Q(x)+2x−2 でしたから，上の式をにらんで Q(x) をあらかじめ1次式 x+2 で割っておきます．この
ポイント 商を予め適当な式で割っておく
というのがコツです．余りを定数 a とすると，
Q(x)=(x+2)(x の整式)+a
と書けます．ここに整式の除法におけるもう1つの重要な事柄が出てきました。それは
(割る式の次数) ＞ (余りの次数)
です．割る式 x+2 は x の1次式ですから，余りは0次式，すなわち定数です．それを a とおいたのです．
上の Q(x) を f(x)=(x+1)2Q(x)+2x−2 に代入すると
f(x)=(x+1)2{(x+2)(xの整式)+a}+2x−2.
変形をして
f(x)=(x+1)2(x+2)(xの整式)+a(x+1)2+2x−2.
割る式 (x+1)2(x+2) は3次式ですから，余りは2次以下です． 部分は2次以下ですから，これが求める余りです．あとは a を決定します．
冒頭で剰余の定理によって f(−2)=−7 でしたから，この式の x を −2 とおくと，
−7=a(−2+1)2+2⋅(−2)−2
∴a=−1
従って
部分=−(x+1)2+2x−2=−x2−3
となり，これが求める余りです．
(3)のこたえ −x2−3
別解
f(x)=(x+1)2(x+2)(xの整式)+a(x+1)2+2x−2 から，この式を x+2 で割った余りは a(x+1)2+2x−2 を x+2 で割った余りに等しいことがわかります．よってこの式を x+2 について展開すると，
a(x+1)2+2x−2=a{(x+2)−1}2+2(x+2)−6=a(x+2)2−2a(x+2)+2(x+2)_①+a−6
となります．①は x+2 で割り切れますから，f(x) を x+2 で割った余りは a−6 となり，これが −7 に等しいのですから a=−1．これ以降は先の解法と同じです．
(4)
(3)より，Q1(x) を x の整式として
f(x)=(x+1)2(x+2)Q1(x)−x2−3
と表せます．ここから(3)と同様に，商である Q1(x) を x+2 で予め割っておきます．商を Q2(x)，余りを b とすると
Q1(x)=(x+2)Q2(x)+b
と表せます．これをすぐ上の式に代入して，
f(x)=(x+1)2(x+2){(x+2)Q2(x)+b}−x2−3=(x+1)2(x+2)2Q2(x)+b(x+1)2(x+2)−x2−3_
この先，(3)では f(−2)=−7 を用いて解決できましたが，今回は f(−2)=−7 でも f(−1)=−4 でも b が落ちてしまいます．
f(x) を (x+2)2 で割った余りは下線部_を (x+2)2 で割った余りと一致します．この部分を x+2 について展開してみましょう．
x+2=t とおくと，x=t−2 ですから，
b(x+1)2(x+2)−x2−3=b{(t−2)+1}2t−(t−2)2−3=b(t3−2t2+t)−(t2−4t+4)−3=bt3−(2b+1)t2+(b+4)t−7
となります．f(x) を t2 即ち (x+2)2 で割った余りは，(b+4)t−7 即ち t を元に戻して
(b+4)(x+2)−7=(b+4)x+2b+1
となり，これが 3x−1 ですから b=−1 となります．従って求める余りは上の下線部より，
−(x+1)2(x+2)−x2−3=−x3−5x2−5x−5
です．
(4)のこたえ −x3−5x2−5x−5
高度な別解
数学Ⅲの微分の知識が使えれば，f(x)=(x+1)2(x+2)2Q2(x)+b(x+1)2(x+2)−x2−3 を微分して
よって，
f′(−2)=b+4
従って f′(−2) がわかれば b の値が求まりますが，これは最初の条件式 f(x)=(x+2)2Q(x)+3x−1 から
f′(x)=2(x+2)Q(x)+(x+2)2Q′(x)+3
∴ f′(−2)=3
故に
3=b+4 ∴b=−1
という方法で b を求めることもできます．
このページで疑問は解決されましたか？
こちら から数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。
高校数学[総目次]
高校数学ワンポイント