1. 不定積分【ノート】
1人で学べる！高校数学

このページにある内容は，こちらのスライド でわかり易く説明しています．

PC環境なら全画面表示でより見やすく，よりわかりやすい！
全画面表示の仕方は こちら

数学Ⅲ　第3章　積分法

	スライド	ノート	問題
1. 不定積分	[無料]
2. 置換積分法（不定積分）	[無料]
3. 部分積分法（不定積分）	[無料]
4. 定積分とその性質
5. 置換積分法（定積分）
6. 部分積分法（定積分）
7. 定積分と微分法
8. 定積分と和の極限
9. 定積分と不等式
10. 定積分の応用（面積）
11. 定積分の応用（体積）
12. 定積分の応用（回転体の体積）
13. 曲線の長さ

1．不定積分

1.1 不定積分

　関数 $f (x)$ について，微分すると $f (x)$ になる関数，即ち $F^{'} (x) = f (x)$ を満たす関数 $F (x)$ を， $f (x)$ の不定積分といい， $\int f (x) d x$ で表す．

　 $F (x)$ が $f (x)$ の不定積分ならば， $F (x) + C (C$ は定数)もまた $f (x)$ の不定積分であるから，一般に次が成り立つ：

$\int f (x) d x = F (x) + C$

補足

　 $C$ を積分定数という．今後この断りを省略することがある．

1.2 $x^{α}$ の不定積分

$\begin{aligned} α \neq - 1 のとき， \int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C \\ α = - 1 のとき， \int x^{- 1} d x = \int \frac{d x}{x} = \log | x | + C \end{aligned}$

1.3 不定積分の性質

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x (k$ は定数)
$\int {f (x) + g (x)} d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

1.4 三角関数の不定積分

$\begin{aligned} \int \sin x d x = - \cos x + C \\ \int \cos x d x = \sin x + C \\ \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C \\ \int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \frac{1}{\tan x} + C \end{aligned}$

証明

　右辺を微分して，左辺の被積分関数になることを確かめる． $\begin{aligned} (\tan x)^{'} = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{'} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ {(- \frac{1}{\tan x})}^{'} = \frac{(\tan x)^{'}}{\tan^{2} x} = \frac{\frac{1}{\cos^{2} x}}{\tan^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x} \end{aligned}$

■

補足

　 ${(\frac{1}{\tan x})}^{'}$ は ${(\frac{\cos x}{\sin x})}^{'}$ からも導けるが，厳密には $\frac{1}{\tan x}$ と $\frac{\cos x}{\sin x}$ は等しくない．
　(後者の方が定義域が広い．例えば $x = \frac{π}{2}$ )

※三角関数の不定積分について，先の学習や発展的なものまでまとめたものがこちら

1.5 指数関数の不定積分

$\begin{aligned} \int e^{x} d x = e^{x} + C \\ \int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\log a} + C \end{aligned}$

証明

${(\frac{a^{x}}{\log a})}^{'} = \frac{a^{x} \log a}{\log a} = a^{x}$

■

補足

　対数関数の不定積分については，部分積分法を学んでからになる．詳しくは こちら

このページで疑問は解決されましたか？

　こちら から数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。

高校数学[総目次]