5. 置換積分法(定積分)【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第3章　積分法

	スライド	ノート	問題
1. 不定積分	[無料]
2. 置換積分法（不定積分）	[無料]
3. 部分積分法（不定積分）	[無料]
4. 定積分とその性質
5. 置換積分法（定積分）
6. 部分積分法（定積分）
7. 定積分と微分法
8. 定積分と和の極限
9. 定積分と不等式
10. 定積分の応用（面積）
11. 定積分の応用（体積）
12. 定積分の応用（回転体の体積）
13. 曲線の長さ

5．置換積分法(定積分)

5.1 定積分の置換積分法

　関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で連続，更に $x$ は微分可能な関数 $g(t)$ により $x=g(t)$ で表されているとする．そして，$t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化したとき，$x$ は $a$ から $b$ まで変化したとする．

　このとき，$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とすれば，置換積分法の公式(Ⅰ)により， $$\begin{array}{rl}\int f(g(t))g^{\prime }(t)dt& =\int f(x)dx\\ & =F(x)+C\\ & =F(g(t))+C\end{array}$$ であるから， $$\begin{array}{rl}{\int }_{\alpha }^{\beta }f(g(t)g^{\prime }(t)dt& =[F(g(t)){]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =F(g(\beta ))-F(g(\alpha ))\\ & =F(b)-F(a)\\ & ={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$ となる．

定積分の置換積分法$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(g(t))g^{\prime }(t)dt$$

発展的補足

　$x=g(t)$ の選び方についてはあまり神経質になる必要はないが，厳密には次のような点に注意して選ぶ．

• 積分区間で単調な関数を選ぶのが普通．
• 単調でない関数を選ぶ場合は次の3条件を満たせばよい：
  • $a=g(\alpha ),b=g(\beta )$ で，$t$ が $\alpha \to \beta$ と変化するとき， $x$ は連続的に $a\to b$ と変化する．
  • 閉区間 $[\alpha ,\beta ]$ で $g^{\prime }(t)$ は連続．
  • 閉区間 $[\alpha ,\beta ]$ で $f(g(t))$ は連続．

重要例題3選

　以下の3つの例題は基本的，かつ重要で，入試問題等にしばしば登場する．

例題1　$a>0$ のとき，${\displaystyle {\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx}$ を計算せよ．

答

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　$x=a\sin \theta$ とおくと， $$dx=a\cos \theta d\theta ,\begin{array}{cc}x& 0\to a\\ \theta & 0\to \frac{\pi }{2}\end{array},$$ $$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-{\sin }^2\theta )}=a|\cos \theta |$$ であるから， $$\begin{array}{rl}{\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}a|\cos \theta |\cdot a\cos \theta d\theta \\ & =a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta \\ & =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta \\ & =\frac{a^2}{2}[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta {]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\underset{―}{\frac{\pi a^2}{4}}\end{array}$$

例題2　${\displaystyle {\int }_0^a\frac{1}{a^2+x^2}dx}$ を計算せよ．

答

　解答例を表示する

　$x=a\tan \theta$ とおくと， $$dx=\frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta ,\begin{array}{cc}x& 0\to a\\ \theta & 0\to \frac{\pi }{4}\end{array},$$ $$\frac{1}{a^2+x^2}=\frac{1}{a^2(1+{\tan }^2\theta )}=\frac{{\cos }^2\theta }{a^2}$$ であるから， $$\begin{array}{rl}{\int }_0^a\frac{1}{a^2+x^2}dx& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{{\cos }^2\theta }{a^2}\cdot \frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}d\theta \\ & =\underset{―}{\frac{\pi }{4a}}\end{array}$$

例題3(重要)　次を示せ． $${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$$

答

　解答例を表示する

証明　$x=a-t$ とおくと， $$dx=-dt,\begin{array}{cc}x& 0\to a\\ t& a\to 0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\therefore \text{左辺}& ={\int }_a^{0}f(a-t)\cdot (-dt)\\ & ={\int }_0^{a}f(a-t)dt\\ & =\text{右辺}\end{array}$$

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5.2 偶関数・奇関数の定積分

確認$$\begin{array}{rl}& f(x)\text{は偶関数}⟺f(-x)=f(x)\\ \\ & f(x)\text{は奇関数}⟺f(-x)=-f(x)\end{array}$$

偶関数・奇関数の定積分$$\begin{array}{rl}& f(x)\text{が偶関数}⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx\\ \\ & f(x)\text{が奇関数}⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0\end{array}$$

証明

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_{-a}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx\cdots \text{①}$$ 　ここで右辺第1項について，$x=-t$ とおくと $$dx=-dt,\begin{array}{cccc}x& -a& \to & 0\\ t& a& \to & 0\end{array}$$ であるから，

　よって，$f(x)$ が偶関数のとき， $$\text{①}={\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$ 　$f(x)$ が奇関数のとき， $$\text{①}={\int }_0^a\{-f(x)\}dx+{\int }_0^{a}f(x)dx=0$$

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1. 不定積分	[無料]
2. 置換積分法（不定積分）	[無料]
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5. 置換積分法（定積分）
6. 部分積分法（定積分）
7. 定積分と微分法
8. 定積分と和の極限
9. 定積分と不等式
10. 定積分の応用（面積）
11. 定積分の応用（体積）
12. 定積分の応用（回転体の体積）
13. 曲線の長さ