(数学Ⅱ)不定積分とは？定義・性質・計算方法をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積

7.　不定積分

7.1　不定積分

　$x^2,x^2+1,x^2-3$ といった関数は，微分するといずれも $2x$ となる．このように，微分すると $2x$ になる関数を $2x$ の不定積分，または原始関数といい，

$$\int 2xdx$$

で表す．また，関数 $2x$ の不定積分を求めることを，$2x$ を積分するという．
　先の例からもわかるように，$2x$ の不定積分は1つではなく，一般に $C$ を定数として $x^2+C$ の形の関数はすべて $2x$ の不定積分である．即ち

$$\int 2xdx=x^2+C$$

と書ける．定数 $C$ を積分定数という．

まとめ　関数 $f(x)$ について，微分すると $f(x)$ になる関数，すなわち$$F^{\prime }(x)=f(x)$$を満たす関数 $F(x)$ を，$f(x)$ の不定積分，または原始関数といい，$$\int f(x)dx$$で表す． 　また，$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とすると，$$\int f(x)dx=F(x)+C(C\text{は定数})$$であり，$C$ を積分定数という．関数 $f(x)$ の不定積分を求めることを，$f(x)$ を積分するという．

　今後，「$C$は積分定数」という断りを省略することがある．

7.2　$x^n$の不定積分

$$\begin{array}{rl}(x{)}^{\prime }=1\text{より}& {\displaystyle \int 1dx=x+C}\\ {\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right)}^{\prime }=x\text{より}& {\displaystyle \int xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C}\\ {\left({\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right)}^{\prime }=x^2\text{より}& {\displaystyle \int x^{2}dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C}\\ & ⋮\\ {\left({\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}\right)}^{\prime }=x^n\text{より}& {\displaystyle \int x^{n}dx={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}+C}\end{array}$$

　$n$ が 0 以上の整数のとき，$$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C(C\text{は積分定数})$$

7.3　不定積分の性質

　$f(x),g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x),G(x)$ とする．(即ち，$F^{\prime }(x)=f(x)$，$G^{\prime }(x)=g(x)$)
　$k$ を定数として，

$$\begin{array}{rl}\{kF(x){\}}^{\prime }& =k{F}^{\prime }(x)=kf(x)\\ \{F(x)+G(x){\}}^{\prime }& =F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)=f(x)+g(x)\end{array}$$

　よって次が成立：

不定積分の性質$$\begin{array}{rl}& [1]\int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k\text{は定数})\\ & [2]\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\end{array}$$

例　($C$ 及び $C_1$ は積分定数とする．)

$$\begin{array}{rl}\int 3xdx& =3\int xdx\\ & =3(\frac{x^2}{2}+C)\\ & =\frac{3}{2}{x}^2+3C_1\\ & =\underset{―}{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{C}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\int (3t^2-4t+1)dt& =3\int t^{2}dt-4\int tdt+\int dt\\ & =3\cdot \frac{t^3}{3}-4\cdot \frac{t^2}{2}+t+C\\ & =\underset{―}{{\mathit{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{t}\mathbf{+}\mathit{C}}\end{array}$$

例題　$f^{\prime }(x)=3x^2-2x+1,f(1)=3$ を満たす $f(x)$ を求めよ．

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\int f^{\prime }(x)dx\\ & =\int (3x^2-2x+1)dx\\ & =x^3-x^2+x+C(C\text{は積分定数})\end{array}$$ 　$f(1)=3$ より， $$1^3-1^2+1+C=3\therefore C=2$$ 　従って，$\underset{―}{\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}}$

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1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積