(数学Ⅱ) 積分による面積の求め方をスライドでやさしく学ぶ

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積

10.　面積

10.1　曲線と $x$ 軸の間の面積

証明

　$a$ から $x$ までの面積を $S(x)$ とすると，$S=S(b)$ である．

　いま，$x$ を $h(>0)$ だけ増加させると，面積の増分は

$S(x+h)-S(x)\cdots$ ①

となる：

　このとき，

$x\leqq t\leqq x+h\cdots$ ②

の範囲にある $t$ を用いて，

①$=h\cdot f(t)$

とできる．両辺を $h$ で割って，

${\displaystyle \frac{S(x+h)-S(x)}{h}}=f(t)\cdots$ ③

　以上は $h>0$ としたが，$h<0$ では

$$S(x)-S(x+h)=-hf(t)$$

$$\therefore \frac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(t)$$

となり，結局 $h<0$ の場合も③となる．

　ここで，$h\to 0$ のとき，$t\to x$ (∵②)であるから，③で $h\to 0$ のとき，

$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{lim}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}& =f(x)\\ \therefore S^{\prime }(x)& =f(x)\end{array}$$

　よって，$S(x)$ は $f(x)$ の不定積分であることがわかる．$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の1つとすると，

$S(x)=F(x)+C(C$ は定数)

　$x=a$ とおくと

$$S(a)=F(a)+C\therefore C=-F(a)$$

　よって，

$$S(x)=F(x)-F(a)$$

$$\therefore S(b)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

■

補足

　$a\leqq x\leqq b$ で常に $f(x)\leqq 0$ のとき，図の面積 $S$ は，

$$S=-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

10.2　曲線と $x$ 軸の間の面積の例

例1

　$0\leqq x\leqq 1$ で常に $y\geqq 0$ であるから，

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^1(x+1)dx\\ & ={[\frac{x^2}{2}+x]}_0^1\\ & =\frac{3}{2}\end{array}$$

※　台形の面積$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+2)\times 1={\displaystyle \frac{3}{2}}$

例2

　$-1\leqq x\leqq 1$ で常に $y\leqq 0$ であるから，

$$\begin{array}{rl}S& =-{\int }_{-1}^1(x^2-1)dx\\ S& =-{\int }_{-1}^1(x+1)(x-1)dx\\ & =-[-\frac{1}{6}\{1-(-1){\}}^3]\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$$

例3

　　✕　${\displaystyle S={\int }_{-2}^{1}f(x)dx}$

　　○　${\displaystyle S={\int }_{-2}^{0}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx}$

　$F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2$ とすると，

$$\begin{array}{rl}S& =[F(x){]}_{-2}^0-[F(x){]}_0^1\\ & =2F(0)-F(-2)-F(1)\\ & =2\times 0-(-\frac{8}{3})-(-\frac{5}{12})\\ & =\frac{29}{12}\end{array}$$

例4

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_{-1}^1|x^2-2x|dx\\ & ={\int }_{-1}^0(x^2-2x)dx+{\int }_0^1\{-(x^2-2x)\}dx\\ & =\cdots \\ & =\frac{4}{3}-(-\frac{2}{3})\\ & =2\end{array}$$

10.3　2曲線の間にある面積

証明

　曲線 $y=f(x)$，$y=g(x)$ のグラフを平行移動して，

$y=f(x)+k,y=g(x)+k(k$ は定数)

としても囲まれる部分の面積は変わらない．そこで $k$ の値として，$a\leqq x\leqq b$ において常に

$$f(x)+k\geqq 0,g(x)+k\geqq 0$$

となるような十分大きな値をとる：

　すると，先に示した積分による面積の公式により

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_a^b\{f(x)+k\}dx-{\int }_a^b\{g(x)+k\}dx\\ & ={\int }_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\end{array}$$

■

10.4　2曲線の間にある面積の例

例1

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_1^2\{(2x+1)-x^2\}dx\\ & ={[-\frac{x^3}{3}+x^2+x]}_1^2\\ & =-\frac{2^3-1^3}{3}+(2^2-1^2)+(2-1)\\ & =-\frac{7}{3}+3+1\\ & =\frac{5}{3}\end{array}$$

例2

　$x^2=x+2$ より，$x^2-x-2=0$．$\therefore x=-1,2$．

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_{-1}^2\{(x+2)-x^2\}dx\\ & =-{\int }_{-1}^2(x^2-x-2)dx\\ & =-{\int }_{-1}^2(x+1)(x-2)dx\\ & =-\{-\frac{1}{6}(2+1{)}^3\}\\ & =\frac{9}{2}\end{array}$$

例3

　$x^2=-x^2+2x$ より，$x(x-1)=0$．$\therefore x=0,1$．

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^1\{(-x^2+2x)-x^2\}dx\\ & =-2{\int }_0^{1}x(x-1)dx\\ & =-2\{-\frac{1}{6}(1-0{)}^3\}\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$

例4

$$S={\int }_{-2}^{-1}\{x^2-(x+2)\}dx+{\int }_{-1}^1\{(x+2)-x^2\}dx$$

　ここで，偶関数と奇関数の定積分の公式を用いると，

$${\int }_{-1}^1\{(x+2)-x^2\}dx=2{\int }_0^1(-x^2+2x)dx$$

となるから，

$$\begin{array}{rl}S& ={[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x]}_{-2}^{-1}-2{[\frac{x^3}{3}-2x]}_0^1\\ & =(\frac{7}{3}+\frac{3}{2}-2)-2(\frac{1}{3}-2)\\ & =\frac{31}{6}\end{array}$$

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