(数学Ⅱ) 積分による面積の求め方をスライドでやさしく学ぶ

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積

10.　面積

10.1　曲線と $x$ 軸の間の面積

証明

　$a$ から $x$ までの面積を $S(x)$ とすると，$S=S(b)$ である．

　いま，$x$ を $h(>0)$ だけ増加させると，面積の増分は

$S(x+h)-S(x)\ \ \cdots$ ①

となる：

　このとき，

$x\leqq t\leqq x+h\ \ \cdots$ ②

の範囲にある $t$ を用いて，

①$=h\cdot f(t)$

とできる．両辺を $h$ で割って，

$\dfrac{S(x+h)-S(x)}h=f(t)\ \ \cdots$ ③

　以上は $h>0$ としたが，$h<0$ では

\[S(x)-S(x+h)=-hf(t)\]

\[\therefore \frac{S(x+h)-S(x)}h=f(t)\]

となり，結局 $h<0$ の場合も③となる．

　ここで，$h\to0$ のとき，$t\to x$ (∵②)であるから，③で $h\to 0$ のとき，

\[\begin{align*}
\lim_{h\to0}\frac{S(x+h)-S(x)}h&=f(x)\\[5pt]
\therefore S'(x)&=f(x)\hspace{15mm}
\end{align*}\]

　よって，$S(x)$ は $f(x)$ の不定積分であることがわかる．$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の1つとすると，

$S(x)=F(x)+C\ \ (C$ は定数)

　$x=a$ とおくと

\[S(a)=F(a)+C\ \ \therefore C=-F(a)\]

　よって，

\[S(x)=F(x)-F(a)\]

\[\therefore S(b)=F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx\]

■

補足

　$a\leqq x\leqq b$ で常に $f(x)\leqq 0$ のとき，図の面積 $S$ は，

\[S=-\int_a^b f(x)dx\]

10.2　曲線と $x$ 軸の間の面積の例

例1

　$0\leqq x\leqq 1$ で常に $y\geqq 0$ であるから，

\[\begin{align*}
S&=\int_0^1(x+1)dx\\[5pt]
&=\left[\frac{x^2}2+x\right]_0^1\\[5pt]
&=\frac32
\end{align*}\]

※　台形の面積$S=\dfrac12(1+2)\times1=\dfrac32$

例2

　$-1\leqq x\leqq 1$ で常に $y\leqq 0$ であるから，

\[\begin{align*}
S&=-\int_{-1}^1(x^2-1)dx\\[5pt]
S&=-\int_{-1}^1(x+1)(x-1)dx\\[5pt]
&=-\left[-\frac16\{1-(-1)\}^3\right]\\[5pt]
&=\frac43
\end{align*}\]

例3

　　✕　$\displaystyle S=\int_{-2}^1f(x)dx$

　　○　$\displaystyle S=\int_{-2}^0f(x)dx-\int_0^1f(x)dx$