高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数 | |||
| 2. 導関数 | |||
| 3. 接線 | |||
| 4. 関数の値の変化 | |||
| 5. 極大・極小 | |||
| 6. 関数のグラフと方程式・不等式 |
| 7. 不定積分 | |||
| 8. 定積分 | |||
| 9. 様々な定積分 | |||
| 10. 面積 |
2. 導関数
2.1 導関数
1. 微分係数 において，関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ とは，$x$ の値が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率において，$a$ を固定し， $b$ を $a$ と異なる値をとりながら限りなく $a$ に近づけたときの極限値として定義された：
$\displaystyle f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\ \cdots$ ①
また $b$ を $a+h$ とおくと，
$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\ \cdots$ ②
とも書けた．①と②は使いやすい方を用いればよいが，いずれで計算する場合であっても分母が必ず約分されなければならず（さもなくば極限が $\dfrac00$ の形になって意味をなさない），そう考えると分子から $b-a$ のかたまりを作り出さなければならない①よりは，$h$ で約分するだけの②の方が使い勝手が良い場合が多い．
例題 $f(x)\!=\!x^2$ の $x\!=\!a$ における微分係数を求めよ．
この例題の結果を用いると，関数 $f(x)=x^2$ については，$f'(1)$ や $f'(2)$ などが知りたいとき，個別に平均変化率の極限から計算しなくても，$f'(a)=2a$ の $a$ に1や2を代入するだけで微分係数が得られる．そこでこれを $f(x)=x^2$ の微分係数の公式としておくと便利であろう．
\[f'(a)=2a\]
数学においては，先に決める変数を $x$ で与えることが多いので，$a$ を $x$ に変更して
\[f'(x)=2x\]
としておこう．この関係を用いれば
\[\begin{align*}
f'(1)&=2\cdot1=2\\[5pt]
f'(2)&=2\cdot2=4\\[5pt]
f'(3)&=2\cdot3=6\\[5pt]
&\vdots
\end{align*}\]
という具合に簡単に微分係数が計算できる．
このように $f(x)=x^2$ から $f'(x)=2x$ を得たが，この $2x$ は $x$ の値を1つ決めるとそれに応じて値がただ1つ決まるのであるから $x$ の関数である．
一般に関数 $f(x)$ から導かれる $f'(x)$ を，関数 $f(x)$ の導関数といい，関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを，関数 $f(x)$ を微分するという．
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ の導き方は，$x=a$ における微分係数を求める公式において，これまで $a$ と書いていたところを $x$ に置き換えた次の式で計算される：
導関数の定義\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\]
補足
$y=f(x)$ の導関数の表し方には以下のような表記がよく用いられ，いずれも同じ意味である．