3．接線(数学Ⅱ微分法)【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

3．接線(数学Ⅱ微分法)

問題１【基本】
　曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ が点 $(0,-1)$ で直線 $y=-5x-1$ に接し，点 $(-1,1)$ で直線 $y=2x+3$ に接している．定数 $a,b,c,d$ の値を求めよ．

問題２【標準】
　2曲線 $y=x^2,\ y=-(x+2)^2$ の両方に接する直線の方程式を求めよ．

問題３【標準】
　曲線 $y=x^3$ の上の点で，原点以外の点Pにおける接線が，$x$ 軸，$y$ 軸及び再びこの曲線と交わる点をそれぞれQ，R，Sとするとき，QR：RSを求めよ．

問題４【標準】
　曲線 $y=x^3-3x^2$ の接線のうち，この曲線と接点以外の共有点をもたないものの方程式を求めよ．

問題５【標準】
　2曲線 $y=x^2-2,\ y=x^2+ax+3$ の交点におけるそれぞれの曲線の接線が直交するとき，定数 $a$ の値を求めよ．

問題６【発展】
　関数 $y=x^4-3x^2+2x$ のグラフ上の異なる2点で接する接線の方程式を求めよ．

　曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ が点 $(0,-1)$ で直線 $y=-5x-1$ に接し，点 $(-1,1)$ で直線 $y=2x+3$ に接している．定数 $a,b,c,d$ の値を求めよ．

　$x=p$ で接するときは\[f(p)=g(p),\ f'(p)=g'(p)\]の言い換えが定石です．

　$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおくと，$f'(x)=3ax^2+2bx+c$.

　点 $(0,-1)$ で直線 $y=-5x-1$ に接するから

\[f(0)=-1,\ \ f'(0)=-5\]

\[\therefore d=-1,\ \ c=-5\]

　点 $(-1,1)$ で直線 $y=2x+3$ に接するから

\[f(-1)=1,\ f'(-1)=2\]

\[\therefore -a+b-c+d=1,\ 3a-2b+c=2\]

　$c=-5,\ d=-1$ を代入して

\[-a+b+5-1=1,\ \ 3a-2b-5=2\]

　これを解いて，$a=1,\ b=-2$.

　以上により　$a=1,\ b-2,\ c=-5,\ d=-1$.

　2曲線 $y=x^2,\ y=-(x+2)^2$ の両方に接する直線の方程式を求めよ．

2つの解法があります．

解法1
　一方の接線の方程式を作る→連立して重解条件