高校数学[総目次]
第6章 微分法・積分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数 | |||
| 2. 導関数 | |||
| 3. 接線 | |||
| 4. 関数の値の変化 | |||
| 5. 極大・極小 | |||
| 6. 関数のグラフと方程式・不等式 |
| 7. 不定積分 | |||
| 8. 定積分 | |||
| 9. 様々な定積分 | |||
| 10. 面積 |
4．関数の値の変化(数学Ⅱ微分法)
演習問題
問題１【標準】
関数 $f(x)=x^3+ax^2+3x+1$ について，次の条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(1) すべての実数において，単調に増加する．
(2) $0\leqq x\leqq 1$ において，単調に増加する．
問題２【標準】
$x=1$ で極小値 $-21$ をとり，$x=-3$ で極大値をとる3次関数 $f(x)$ のうち，$x^3$ の係数が1であるものを求めよ．
問題３【標準】
関数 $f(x)=ax^3+3bx^2+3cx$ は $x=1$ で極大値， $x=3$ で極小値をとり，極大値と極小値の差は8である．定数 $a,\ b,\ c$ の値を求めよ．
問題４【標準】
次の関数の極値を求めよ．ただし，$a$ は定数とする．
(1) $f(x)=x^3+3ax^2$
(2) $f(x)=x^3-2ax^2+a^2x$
問題５【標準】
関数 $f(x)=\dfrac13x^3+\dfrac12ax^2+bx+c$ について，次の各問いに答えよ．
(1) $x=1$ で極大となるための必要十分条件を求めよ．
(2) $x=-2$ で極小となるための必要十分条件を求めよ．
問題６【標準】
次の関数のグラフをかけ．
(1) $y=x^3-3x^2-6x+5$
(2) $y=|x^3+x^2-x-1|$
(3) $y=|x|(x^2-3x+2)$
問題７【標準】
関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が $0<x<1$ の範囲に極大値と極小値をとるとき，点 $(a,\ b)$ の存在範囲を図示せよ．
問題８【標準】
関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が $x=\alpha$ で極大値をとり，$x=\beta$ で極小値をとるとき，極大値と極小値の差を $\alpha,\ \beta$ で表せ．また，$a,\ b$ で表せ．
問題９【標準】
関数 $f(x)=x^4+4x^3-18x^2+4px+q$， $g(x)=f'(x)$ とする．次の各問いに答えよ．
(1) $g(x)$ の極大値と極小値の絶対値が等しくなるように，$p$ の値を定めよ．
(2) そのとき，$f(x)$ の極大値が正，2つの極小値が共に負になるような $q$ の値の範囲を求めよ．
ある範囲での単調性を示すことは，その範囲で導関数が非負(あるいは非正)であることを示すことと同値です．この場合，指定された範囲で，$f'(x)\geqq0$ を示します．
解答
(1) $f'(x)=3x^2+2ax+3$．$f(x)$ がすべての実数の範囲で単調に増加するとき，$f'(x)$ がすべての実数で非負であるから $f'(x)=0$ の判別式を $D$ とすると $D\leqq0$．よって
\[D/4=a^2-3\cdot3\leqq0\]
\[ \therefore -3\leqq a\leqq3\]
(2) $f'(x)=3x^2+2ax+3=3\left(x+\dfrac a3\right)^2+3-\dfrac{a^2}3$.
$f(x)$ が $0\leqq x\leqq1$ で単調増加
$\iff 0\leqq x\leqq 1$ で $f'(x)\geqq0\ \cdots$ ①
$1^\circ\ -\dfrac a3<0$ 即ち $a>0$ のとき
① $\iff f'(0)\geqq 0$ となるが， $f'(0)=3>0$ より成り立つ．
$2^\circ\ 0\leqq-\dfrac a3\leqq1$ 即ち $-3\leqq a\leqq0\ (\cdots$ ②) のとき
① $\iff f’\left(-\dfrac a3\right)=3-\dfrac{a^2}3\geqq 0$．
これを解いて $-3\leqq a\leqq 3$
②とから $-3\leqq a\leqq0$
$3^\circ\ -\dfrac a3>0$ 即ち $a<0\ (\cdots$ ③) のとき
① $\iff f'(1)=2a+6\geqq 0$．
これを解いて $a\geqq-3$
③とからこの場合は不適．
以上により，求める $a$ の値の範囲は $a\geqq-3$
(2) の別解
$f'(x)=3x^2+2ax+3=3\left(x+\dfrac a3\right)^2+3-\dfrac{a^2}3$.
$f(x)$ が $0\leqq x\leqq1$ で単調増加
$\iff 0\leqq x\leqq 1$ で $f'(x)\geqq0\ \cdots$ ①
$\iff 0\leqq x\leqq 1$ における $f'(x)$ の最小値が非負．$\cdots$ ①
$f'(x)$ はグラフが下に凸な2次関数であるから $0\leqq x\leqq1$ における最小値の候補は
\[f'(0),\ f'(1),\ f’\left(-\frac a3\right)\]
即ち
\[3,\ 2a+6,\ 3-\frac{a^2}3\]
である．ただし，$3-\dfrac{a^2}3$ は，軸 $x=-\dfrac a3$ が $0\leqq x\leqq 1$ に入っている $-3\leqq a\leqq0$ の範囲でのみ有効である．従って①は，
$3\geqq0$ かつ $2a+6\geqq0$ かつ $-3\leqq a\leqq 0$ の範囲で $3-\dfrac{a^2}3\geqq0$
と同値である．従って
① $\iff -3\leqq a\leqq0$ 以外では $2a+6\geqq0$
$-3\leqq a\leqq0$ では $2a+6\geqq0$ かつ $3-\dfrac{a^2}3\geqq 0$
$\iff$ $-3\leqq a\leqq0$ 以外では $a\geqq-3$
$-3\leqq a\leqq0$ では $a\geqq-3$ かつ $-3\leqq a\leqq3$
$\iff$ $-3\leqq a\leqq0$ 以外では $a\geqq0$
$-3\leqq a\leqq0$ では $-3\leqq a\leqq0$
以上により求める $a$ の値の範囲は $a\geqq-3$
3つの解法を示します．まずは，教科書的な解法です．