6．関数のグラフと方程式・不等式(数学Ⅱ微分法)【演習問題】

問題１【標準】
次の方程式は，与えられた区間に実数解をもつことを示せ．
(1) $x^3+6x^2-6=0$　$(-2\leqq x\leqq -1)$
(2) $x^4-5x+2=0$　$(-1\leqq x\leqq 1)$

問題２【標準】
次の方程式が3つの異なる実数解をもつように，定数 $a$ の値の範囲を定めよ．
(1) $x^3-6x^2+9x+a=0$
(2) $2x^3+9x^2-3-a=0$

問題３【標準】
$a$ を定数とする．曲線 $y=x^3-x^2-4x+2$ と直線 $y=x+a$ との共有点の個数を調べよ．

問題４【標準】
$a$ を正の定数とする．次の方程式の異なる実数解の個数を調べよ．
(1) $x^3-3ax^2+4a=0$
(2) $2x^3-3(a+1)x^2+6ax-2a=0$

問題５【標準】
3次方程式 $2x^3-3ax^2+2b=0$ が，異なる3つの実数解をもつときの $a,\ b$ の条件を求め，点 $(a,\ b)$ の存在する範囲を図示せよ．

問題６【標準】
方程式 $2x^3+3x^2-36x-1-a=0$ が異なる2つの負の実数解と1つの正の実数解をもつように，定数 $a$ の値の範囲を定めよ．

問題７【標準】
方程式 $3x^4-8x^3-6x^2+24x+a=0$ が異なる実数解を2つだけもつように，定数 $a$ の値の範囲を定めよ．

問題８【標準】
次の不等式が成り立つことを証明せよ．
(1) $x\geqq0$ のとき，$2x^3+\dfrac19>x^2$
(2) $x>1$ のとき，$x^3+4x>3x^2+2$