高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数 | |||
| 2. 導関数 | |||
| 3. 接線 | |||
| 4. 関数の値の変化 | |||
| 5. 極大・極小 | |||
| 6. 関数のグラフと方程式・不等式 |
| 7. 不定積分 | |||
| 8. 定積分 | |||
| 9. 様々な定積分 | |||
| 10. 面積 |
7. 不定積分
7.1 不定積分
$x^2,x^2+1,x^2-3$ といった関数は，微分するといずれも $2x$ となる．このように，微分すると $2x$ になる関数を $2x$ の不定積分，または原始関数といい，
\[\int 2x\,dx\]
で表す．また，関数 $2x$ の不定積分を求めることを，$2x$ を積分するという．
先の例からもわかるように，$2x$ の不定積分は1つではなく，一般に $C$ を定数として $x^2+C$ の形の関数はすべて $2x$ の不定積分である．即ち
\[\int 2x\,dx=x^2+C\]
と書ける．定数 $C$ を積分定数という．
まとめ 関数 $f(x)$ について，微分すると $f(x)$ になる関数，すなわち\[F'(x)=f(x)\]を満たす関数 $F(x)$ を，$f(x)$ の不定積分，または原始関数といい，\[\int\!f(x)\,dx\]で表す． また，$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とすると，\[\int\!f(x)\,dx\!=\!F(x)\!+\!C\ (C\mbox{は定数})\]であり，$C$ を積分定数という．関数 $f(x)$ の不定積分を求めることを，$f(x)$ を積分するという．
今後，「$C$は積分定数」という断りを省略することがある．
7.2 $x^n$の不定積分
\[\begin{array}{rl}
(x)’=1\ \mbox{より} & \displaystyle\int 1\,dx=x+C\\[5pt]
\left(\dfrac{x^2}2\right)’=x\ \mbox{より} & \displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^2}2+C\\[5pt]
\left(\dfrac{x^3}3\right)’=x^2\ \mbox{より} & \displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}3+C\\[5pt]
&\vdots\\[5pt]
\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)’=x^n\ \mbox{より} & \displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
\end{array}\]
$n$ が 0 以上の整数のとき，\[\int\!x^n dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C\ \ (C\mbox{は積分定数})\]
