(数学Ⅱ)定積分の基本と性質｜定積分を含む関数・微分法とのつながりをスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積

8.　定積分

8.1　定積分

　$F(x)$ を $f(x)=2x+1$ の不定積分とすると， $$F(x)=\int f(x)dx=x^2+x+C$$ 　ここで例えば， $$\begin{array}{rl}F(3)-F(1)& =(3^2+3+C)-(1^2+1+C)\\ & =10\end{array}$$ と積分定数 $\mathit{C}$ によらない値となる．

　一般に，関数 $f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とするとき，$F(b)-F(a)$ は積分定数 $C$ によらない値となる．この $F(b)-F(a)$ を関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい， $${\int }_a^{b}f(x)dx$$ で表す．また，$F(b)-F(a)$ を $$[F(x){]}_a^b$$ とも書く：

定積分　関数$f(x)$の不定積分の1つを$F(x)$とするとき，$${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$$

補足1

　${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$ について，$a$ を積分区間の下端，$b$ を積分区間の上端という．

補足2

　$a<b,a=b,a>b$ のいずれの場合でも ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$ は意味を持つ．

例

$$\begin{array}{rl}& {\int }_2^{-1}(x^2-x+1)dx={[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x]}_2^{-1}\\ =& \{\frac{(-1{)}^3}{3}-\frac{(-1{)}^2}{2}+(-1)\}-(\frac{2^3}{3}-\frac{2^2}{2}+2)\\ =& -\frac{11}{6}-\frac{8}{3}=\underset{―}{\mathbf{-}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{2}}}\end{array}$$

8.2　定積分の性質

定積分の性質1$$\begin{array}{rl}& [1]{\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx(k\text{は定数})\\ & [2]{\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

証明

　$f(x),g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x),G(x)$ とする．

[1]

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}kf(x)dx& =[kF(x){]}_a^b\\ & =kF(b)-kF(a)\\ & =k\{F(b)-F(a)\}\\ & =k{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

[2]

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx& =[F(x)+G(x){]}_a^b\\ & =\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\\ & =\{F(b)-F(a)\}+\{G(b)-G(a)\}\\ & ={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

■

例1

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{3}2xdx& =2{\int }_1^{3}xdx(\leftarrow \text{性質}[1])\\ & =2[\frac{x^2}{2}{]}_1^3\\ & =2\cdot \frac{3^2-1^2}{2}\\ & =\underset{―}{\mathbf{8}}\end{array}$$

例2

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-1}^2(x^2-x+1)dx\\ =& {\int }_{-1}^2{x}^{2}dx-{\int }_{-1}^{2}xdx+{\int }_{-1}^{2}dx(\leftarrow \text{性質}[2])\\ =& [\frac{x^3}{3}{]}_{-1}^2-[\frac{x^2}{2}{]}_{-1}^2+[x{]}_{-1}^2\\ =& \frac{2^3-(-1{)}^3}{3}-\frac{2^2-(-1{)}^2}{2}+\{2-(-1)\}\\ =& 3-\frac{3}{2}+3\\ =& \underset{―}{\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{2}}}\end{array}$$

定積分の性質2$$\begin{array}{rl}& [3]{\int }_a^{a}f(x)dx=0\\ & [4]{\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx\\ & [5]{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx\end{array}$$

証明

　$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする．

[3]

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{a}f(x)dx& =[F(x){]}_a^a\\ & =F(a)-F(a)\\ & =0\end{array}$$

[4]

$$\begin{array}{rl}{\int }_b^{a}f(x)dx& =[F(x){]}_b^a\\ & =F(a)-F(b)\\ & =-\{F(b)-F(a)\}\\ & =-{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

[5]

$$\begin{array}{rl}(\text{右辺})& =[F(x){]}_a^c+[F(x){]}_c^b\\ & =\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\ & =F(b)-F(a)\\ & ={\int }_a^{b}f(x)dx\\ & =(\text{左辺})\end{array}$$

■

例

$$\begin{array}{rl}{\int }_2^{-1}xdx-{\int }_3^{-1}xdx& ={\int }_2^{-1}xdx+{\int }_{-1}^{3}xdx(\leftarrow \text{性質}[4])\\ & ={\int }_2^{3}xdx(\leftarrow \text{性質}[5])\\ & ={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_2^3\\ & =\underset{―}{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}}\end{array}$$

8.3　定積分を含む関数

例題　$f(x)=x^2-3x+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)dt$ のとき，$f(x)$ を求めよ．

ポイント
　式中の定積分を $a$ (定数)とおいて，定積分を含まぬ形にする．
　↓
　$a$ とおいた定積分を計算．

答

　　${\displaystyle {\int }_0^{2}f(t)dt}$ を $a$ (定数)とおくと，

$f(x)=x^2-3x+a\cdots$①

(一見，積分を含んだいかめしい形の与式は，単なる2次関数であったのだ．)

　$a$ とおいた定積分を計算すると， $$\begin{array}{rl}a& ={\int }_0^{2}f(t)dt\\ & ={\int }_0^2(t^2-3t+a)dt(\because \text{①})\\ & =[\frac{t^3}{3}-\frac{3}{2}{t}^2+at{]}_0^2\\ & =\frac{8}{3}-6+2a\\ & =-\frac{10}{3}+2a\end{array}$$

　従って，

$$\begin{array}{rl}a& =-\frac{10}{3}+2a\\ \therefore a& =\frac{10}{3}\end{array}$$ 　よって①より， $$\underset{―}{\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{3}}}$$

注意

　例えば，$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^{1}xtf(t)dt}$ のとき，

${\displaystyle {\int }_0^{1}xtf(t)dt=a}$ (定数)とおく．

としてはいけない．何故なら $x=p$ のとき $f(x)$ は $f(p)=p^2+{\displaystyle {\int }_0^{1}ptf(t)dt}$ となるが，${\displaystyle {\int }_0^{1}ptf(t)dt}$ の部分は $x$ の値 $p$ によって変化し，定数ではないからである．このような場合の対処法は，積分変数 $t$ 以外の文字は定数とみなして

$$f(x)=x^2+x{\int }_0^{1}tf(t)dt$$

と $x$ を定積分の前に出し，

${\displaystyle {\int }_0^{1}tf(t)dt=a}$ (定数)とおく．

とするのである．

8.4　定積分と微分法

例題　${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_1^x(2t+3)dt}$ を計算せよ．

※ ${\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)$ のような表記の意味についてはこちら．

答

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^x(2t+3)dt& =[t^2+3t{]}_1^x\\ & =x^2+3x-4\end{array}$$

　よって，${\displaystyle {\int }_1^x(2t+3)dt}$ は $x$ の2次関数である．この関数を $x$ で微分するのであるから，

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{\int }_1^x(2t+3)dt& =\frac{d}{dx}(x^2+3x-4)\\ & =2x+3\end{array}$$

　これは，${\displaystyle {\int }_1^x(2t+3)dt}$ の被積分関数 $2t+3$ の $t$ を $x$ に置き換えたものである．

　一般に次が成り立つ：

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)(a\text{は定数})$$

証明

　$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする．(即ち，$F^{\prime }(x)=f(x)$ )

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{x}f(t)dt& =[F(t){]}_a^x\\ & =F(x)-F(a)\end{array}$$

　よって，

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt& =\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}\\ & =\frac{d}{dx}F(x)-\frac{d}{dx}F(a)\\ & =f(x)\end{array}$$

■

補足

①　${\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt}$ は微分すると $f(x)$ になるから，$f(x)$ の1つの不定積分である．

②　${\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt}$ は $x=a$ のとき， $${\int }_a^{a}f(t)dt=0(\leftarrow \text{性質3})$$

③　上の証明から $a$ は定数であればどんな値でもよい．

例題　等式 ${\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-3x+a}$ を満たす関数 $f(x)$ と $a$ の値を求めよ．

答

　与式の両辺を微分すると

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=\frac{d}{dx}(x^2-3x+a)$$

$$\therefore \underset{―}{\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}}$$

　また，与式の両辺の $x$ を $a$ とおくと，

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{a}f(t)dt& =a^2-3a+a\\ & =a^2-2a\\ & =a(a-2)\\ \therefore 0& =a(a-2)\end{array}$$

$$\therefore \underset{―}{\mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{2}}$$

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8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積