高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数 | |||
| 2. 導関数 | |||
| 3. 接線 | |||
| 4. 関数の値の変化 | |||
| 5. 極大・極小 | |||
| 6. 関数のグラフと方程式・不等式 |
| 7. 不定積分 | |||
| 8. 定積分 | |||
| 9. 様々な定積分 | |||
| 10. 面積 |
8. 定積分
8.1 定積分
$F(x)$ を $f(x)=2x+1$ の不定積分とすると， \[F(x)=\int f(x)\,dx=x^2+x+C\] ここで例えば， \[\begin{align*} F(3)-F(1)&=(3^2+3+C)-(1^2+1+C)\\[5pt] &=10 \end{align*}\] と積分定数 $\boldsymbol{C}$ によらない値となる．
一般に，関数 $f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とするとき，$F(b)-F(a)$ は積分定数 $C$ によらない値となる．この $F(b)-F(a)$ を関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい，
\[\int_a^b f(x)\,dx\]
で表す．また，$F(b)-F(a)$ を
\[\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b\]
とも書く：
定積分 関数$f(x)$の不定積分の1つを$F(x)$とするとき，\[\int_a^b\!f(x)dx\!=\!\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b\!=\!F(b)\!-\!F(a)\]
補足1
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ について，$a$ を積分区間の下端，$b$ を積分区間の上端という．
補足2
$a\!<\!b,a\!=\!b,a\!>\!b$ のいずれの場合でも $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ は意味を持つ．
例
\[\begin{align*} &\int_2^{-1}\!\!(x^2\!-\!x\!+\!1)dx\!=\!\left[\frac{x^3}3\!-\!\frac{x^2}2\!+\!x\right]_2^{-1}\\[5pt]
\!=&\left\{\!\frac{(-1)^3}3\!-\!\frac{(-1)^2}2\!+\!(-1)\!\right\}\!-\!\left(\frac{2^3}3\!-\!\frac{2^2}2\!+\!2\right)\\[5pt]
\!=&-\frac{11}6-\frac83\!=\!\underline{\boldsymbol{-\frac92}}
\end{align*}\]
8.2 定積分の性質
定積分の性質1\begin{align*} &[1]\ \int_a^b\!kf(x)\,dx\!=\!k\!\int_a^b\!f(x)\,dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int_a^b\!\!f(x)dx\!+\!\!\int_a^b\!g(x)dx \end{align*}
証明
$f(x),g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x),G(x)$ とする．
[1]
\[\begin{align*}
\int_a^b kf(x)\,dx&=\Bigl[kF(x)\Bigr]_a^b\\[5pt]
&=kF(b)-kF(a)\\[5pt]
&=k\{F(b)-F(a)\}\\[5pt]
&=k\int_a^b f(x)\,dx
\end{align*}\]
[2]
\[\begin{align*}
\int_a^b \{f(x)+g(x)\}\,dx&=\Bigl[F(x)+G(x)\Bigr]_a^b\\[5pt]
&=\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\\[5pt]
&=\{F(b)-F(a)\}+\{G(b)-G(a)\}\\[5pt]
&=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx
\end{align*}\]
■
例1
\[\begin{align*}
\int_1^3 2x\,dx&=2\int_1^3 x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[1])\\[5pt]
&=2\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_1^3\\[5pt]
&=2\cdot\frac{3^2-1^2}2\\[5pt]
&=\underline{\boldsymbol{8}}
\end{align*}\]
例2
\[\begin{align*}
&\int_{-1}^2 (x^2-x+1)\,dx\\[5pt]
=&\int_{-1}^2 x^2\,dx-\int_{-1}^2 x\,dx+\int_{-1}^2 dx\ \ (\gets\mbox{性質}[2])\\[5pt]
=&\Bigl[\frac{x^3}3\Bigr]_{-1}^2-\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_{-1}^2+\Bigl[x\Bigr]_{-1}^2\\[5pt]
=&\frac{2^3-(-1)^3}3-\frac{2^2-(-1)^2}2+\{2-(-1)\}\\[5pt]
=&3-\frac32+3\\[5pt]
=&\underline{\boldsymbol{\frac92}}
\end{align*}\]
定積分の性質2\begin{align*} &[3]\ \int_a^a\!\!f(x)dx\!=\!0\\ &[4]\ \int_b^a\!\!f(x)dx\!=\!-\int_a^b\!\!f(x)dx\\ &[5]\ \int_a^b\!\!f(x)dx\!=\!\int_a^c\!\!f(x)dx\!+\!\int_c^b\!\!f(x)dx \end{align*}
証明
$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする．
[3]
\[\begin{align*}
\int_a^a f(x)\,dx&=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^a\\[5pt]
&=F(a)-F(a)\\[5pt]
&=0
\end{align*}\]
[4]
\[\begin{align*}
\int_b^a f(x)\,dx&=\Bigl[F(x)\Bigr]_b^a\\[5pt]
&=F(a)-F(b)\\[5pt]
&=-\{F(b)-F(a)\}\\[5pt]
&=-\int_a^b f(x)\,dx
\end{align*}\]
[5]
\[\begin{align*}
(\mbox{右辺})&=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^c+\Bigl[F(x)\Bigr]_c^b\\[5pt]
&=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\[5pt]
&=F(b)-F(a)\\[5pt]
&=\int_a^b f(x)\,dx\\[5pt]
&=(\mbox{左辺})
\end{align*}\]
■
例
\begin{align*}
\int_2^{-1}\!\!\!\!x\,dx-\int_3^{-1}\!\!x\,dx&=\int_2^{-1}\!\!\!\!x\,dx+\int_{-1}^3\!\!x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[4])\\[5pt]
&=\int_2^3\!\!x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[5])\\[5pt]
&=\left[\frac{x^2}2\right]_2^3\\[5pt]
&=\underline{\boldsymbol{\frac52}}
\end{align*}
8.3 定積分を含む関数
例題 $f(x)\!=\!x^2\!-\!3x\!+\!{\displaystyle\int_0^2}\!\!f(t)\,dt$ のとき，$f(x)$ を求めよ．
ポイント
式中の定積分を $a$ (定数)とおいて，定積分を含まぬ形にする．
↓
$a$ とおいた定積分を計算．