(数学Ⅱ)定積分の基本と性質｜定積分を含む関数・微分法とのつながりをスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積

8.　定積分

8.1　定積分

　$F(x)$ を $f(x)=2x+1$ の不定積分とすると， $$F(x)=\int f(x)\,dx=x^2+x+C$$ 　ここで例えば， $$\begin{align*} F(3)-F(1)&=(3^2+3+C)-(1^2+1+C)\\[5pt] &=10 \end{align*}$$ と積分定数 $\boldsymbol{C}$ によらない値となる．

　一般に，関数 $f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とするとき，$F(b)-F(a)$ は積分定数 $C$ によらない値となる．この $F(b)-F(a)$ を関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい，
$$\int_a^b f(x)\,dx$$
で表す．また，$F(b)-F(a)$ を
$$\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$$
とも書く：

定積分　関数$f(x)$の不定積分の1つを$F(x)$とするとき， $$\int_a^b\!f(x)dx\!=\!\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b\!=\!F(b)\!-\!F(a)$$

補足1

　$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ について，$a$ を積分区間の下端，$b$ を積分区間の上端という．

補足2

　$a\!<\!b,a\!=\!b,a\!>\!b$ のいずれの場合でも $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ は意味を持つ．

例

$$\begin{align*} &\int_2^{-1}\!\!(x^2\!-\!x\!+\!1)dx\!=\!\left[\frac{x^3}3\!-\!\frac{x^2}2\!+\!x\right]_2^{-1}\\[5pt] \!=&\left\{\!\frac{(-1)^3}3\!-\!\frac{(-1)^2}2\!+\!(-1)\!\right\}\!-\!\left(\frac{2^3}3\!-\!\frac{2^2}2\!+\!2\right)\\[5pt] \!=&-\frac{11}6-\frac83\!=\!\underline{\boldsymbol{-\frac92}} \end{align*}$$

8.2　定積分の性質

定積分の性質1 $$\begin{align*} &[1]\ \int_a^b\!kf(x)\,dx\!=\!k\!\int_a^b\!f(x)\,dx\ (k\mbox{は定数})\\ &[2]\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx\!=\!\int_a^b\!\!f(x)dx\!+\!\!\int_a^b\!g(x)dx \end{align*}$$

証明

　$f(x),g(x)$ の不定積分の1つをそれぞれ $F(x),G(x)$ とする．

[1]

$$\begin{align*} \int_a^b kf(x)\,dx&=\Bigl[kF(x)\Bigr]_a^b\\[5pt] &=kF(b)-kF(a)\\[5pt] &=k\{F(b)-F(a)\}\\[5pt] &=k\int_a^b f(x)\,dx \end{align*}$$

[2]

$$\begin{align*} \int_a^b \{f(x)+g(x)\}\,dx&=\Bigl[F(x)+G(x)\Bigr]_a^b\\[5pt] &=\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\\[5pt] &=\{F(b)-F(a)\}+\{G(b)-G(a)\}\\[5pt] &=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx \end{align*}$$

■

例1

$$\begin{align*} \int_1^3 2x\,dx&=2\int_1^3 x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[1])\\[5pt] &=2\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_1^3\\[5pt] &=2\cdot\frac{3^2-1^2}2\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{8}} \end{align*}$$

例2

$$\begin{align*} &\int_{-1}^2 (x^2-x+1)\,dx\\[5pt] =&\int_{-1}^2 x^2\,dx-\int_{-1}^2 x\,dx+\int_{-1}^2 dx\ \ (\gets\mbox{性質}[2])\\[5pt] =&\Bigl[\frac{x^3}3\Bigr]_{-1}^2-\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_{-1}^2+\Bigl[x\Bigr]_{-1}^2\\[5pt] =&\frac{2^3-(-1)^3}3-\frac{2^2-(-1)^2}2+\{2-(-1)\}\\[5pt] =&3-\frac32+3\\[5pt] =&\underline{\boldsymbol{\frac92}} \end{align*}$$

定積分の性質2 $$\begin{align*} &[3]\ \int_a^a\!\!f(x)dx\!=\!0\\ &[4]\ \int_b^a\!\!f(x)dx\!=\!-\int_a^b\!\!f(x)dx\\ &[5]\ \int_a^b\!\!f(x)dx\!=\!\int_a^c\!\!f(x)dx\!+\!\int_c^b\!\!f(x)dx \end{align*}$$

証明

　$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする．

[3]

$$\begin{align*} \int_a^a f(x)\,dx&=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^a\\[5pt] &=F(a)-F(a)\\[5pt] &=0 \end{align*}$$

[4]

$$\begin{align*} \int_b^a f(x)\,dx&=\Bigl[F(x)\Bigr]_b^a\\[5pt] &=F(a)-F(b)\\[5pt] &=-\{F(b)-F(a)\}\\[5pt] &=-\int_a^b f(x)\,dx \end{align*}$$

[5]

$$\begin{align*} (\mbox{右辺})&=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^c+\Bigl[F(x)\Bigr]_c^b\\[5pt] &=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\[5pt] &=F(b)-F(a)\\[5pt] &=\int_a^b f(x)\,dx\\[5pt] &=(\mbox{左辺}) \end{align*}$$

■

例

$$\begin{align*} \int_2^{-1}\!\!\!\!x\,dx-\int_3^{-1}\!\!x\,dx&=\int_2^{-1}\!\!\!\!x\,dx+\int_{-1}^3\!\!x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[4])\\[5pt] &=\int_2^3\!\!x\,dx\ \ (\gets\mbox{性質}[5])\\[5pt] &=\left[\frac{x^2}2\right]_2^3\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac52}} \end{align*}$$

8.3　定積分を含む関数

例題　$f(x)\!=\!x^2\!-\!3x\!+\!{\displaystyle\int_0^2}\!\!f(t)\,dt$ のとき，$f(x)$ を求めよ．

ポイント
　式中の定積分を $a$ (定数)とおいて，定積分を含まぬ形にする．
　↓
　$a$ とおいた定積分を計算．