定積分と不等式(数学Ⅲ)入試でよくみられる積分の不等式とその例題

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数学Ⅲ　第3章　積分法

	スライド	ノート	問題
1. 不定積分	[無料]
2. 置換積分法（不定積分）	[無料]
3. 部分積分法（不定積分）	[無料]
4. 定積分とその性質
5. 置換積分法（定積分）
6. 部分積分法（定積分）
7. 定積分と微分法
8. 定積分と和の極限
9. 定積分と不等式
10. 定積分の応用（面積）
11. 定積分の応用（体積）
12. 定積分の応用（回転体の体積）
13. 曲線の長さ

9．定積分と不等式

9.1　定積分と不等式

　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq0$ ならば，
$\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq0$
が成り立つ．等号成立は， $[a,b]$ で常に $f(x)=0$ のとき．

　この定理は，図の緑色部分の面積が0以上であるという事実からも理解しやすい．

証明

　 $\displaystyle{F(x)=\int_a^x\!\!f(t)dt}$ とする． $F(b)\geqq 0$ を示せばよい．

$\displaystyle F'(x)=\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\geqq 0\ \ （\because$ 仮定)

であるから， $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で単調に増加する関数である．よって，

$F(x)\geqq F(a)\left(=\int_a^a\!\!f(t)dt\right)=0$

により， $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に非負となり，従って $F(b)\geqq 0$ ．

　また，等号が成立するとき，すなわち $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx=F(b)=0}$ が成り立つときは， $F(x)$ の単調増加性により

$0=F(a)\leqq F(x)\leqq F(b)=0$

となるから， $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に0．

　故に $f(x)=F'(x)=(0)’=0$ ．

■

　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq 0$ ，かつ $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx= 0}$ ならば，この区間で常に $f(x)=0$ ．

証明

　上の定理の証明における等号成立時の議論により明らか．

■

　上の定理から，直ちに次が成り立つ：

　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq g(x)$ ならば，
$\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx$
が成り立つ．等号成立は， $[a,b]$ で常に $f(x)=g(x)$ のとき．

証明

　 $F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと，区間 $[a,b]$ で常に $F(x)\geqq0$ ．従って，
$\int_a^b\!\!F(x)\,dx=\int_a^b\!\!\{f(x)-g(x)\}dx\geqq0$
$\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx-\int_a^b\!\!g(x)\,dx\geqq0$
$\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx$

■

例題1　次を示せ． $\frac\pi4 < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1$

こたえ

　閉区間 $[0,1]$ において，常に
$1 \leqq 1+x^3\leqq 1+x^2$
であるから，
$\frac1{1+x^2}\leqq\frac1{1+x^3}\leqq 1$
　この不等式の等号は常に成り立っている訳ではないから，各辺を0から1まで積分すると
$\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2} < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < \int_0^1\!\!dx$
　この右辺の積分は1である．またこの左辺の積分は $x=\tan\theta$ とおくと，
$dx=\dfrac{d\theta}{cos^2\theta},\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 1\\\hline \theta&0\to\frac\pi4 \end{array}$
となるから，
$\begin{align*} \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2}&=\int_0^{\frac\pi4}\frac1{1+\tan^2\theta}\cdot\frac1{\cos^2\theta}d\theta\\[5pt] &=\int_0^{\frac\pi4}d\theta=\frac\pi4 \end{align*}$
$\therefore \frac\pi4 <\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1$

■

例題2　 $n$ を2以上の自然数とするとき，次を示せ． $1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n$

こたえ

　関数 $\dfrac1x$ は $x>0$ で単調に減少するから，任意の自然数 $k$ について， $k\leqq x\leqq k+1$ のとき，

$\frac1{k+1}\leqq \frac1x$

が成り立つ．この不等式の等号は常に成り立つ訳ではないから，両辺を $k$ から $k+1$ まで積分すると

$\int_k^{k+1}\frac{dx}{k+1}< \int_k^{k+1}\frac{dx}x$

$\therefore \frac1{k+1}< \int_k^{k+1}\frac{dx}x$

　この式の $k$ に1から $n-1$ まで代入して辺々加えると

$\frac12\!+\!\frac13\!+\!\cdots\!+\frac1n<\int_1^2\!\!\frac{dx}x\!+\!\int_2^3\!\!\frac{dx}x\!+\!\cdots\!+\!\int_{n-1}^n\!\!\frac{dx}x$

　この右辺は

$\int_1^n\frac{dx}x=\Bigl[\log |x|\Bigr]_1^n=\log n$

となるから結局上の式は

$\frac12\!+\!\frac13\!+\!\cdots\frac1n<\log n$

　この両辺に1を加えて

$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n$

■

別解

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　図の長方形の面積の合計より，赤色で囲まれた部分の面積の方が大きいから，

$\begin{align*} 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n& < 1+\int_1^n\!\!\frac{dx}x\\ &=1+\Bigl[\log x\Bigr]_1^n\\ &=1+\log n \end{align*}$

■

9.2　絶対値付きの積分不等式

　定積分において，被積分関数に絶対値が付いたままでは積分できない．例えば，次の例題を考えてみよう．

例題　次の定積分を求めよ． $\int_0^3|x-1|dx$

　この問題を

$\int_0^3|x-1|dx=\left|\,\left[\dfrac{x^2}2-x\right]_0^3\,\right|=\dfrac32$

と計算したらもちろん間違いである．正しくは $0\leqq x\leqq 1$ において， $x-1\leqq0$ であり， $1\leqq x\leqq3$ において $x-1\geqq0$ であるから

定積分と不等式(数学Ⅲ)入試でよくみられる積分の不等式とその例題

9．定積分と不等式

9.1 定積分と不等式

証明

証明

証明

こたえ

こたえ

別解

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9.2 絶対値付きの積分不等式

9.1　定積分と不等式

9.2　絶対値付きの積分不等式