13．整式の除法(発展編)【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

	スライド	ノート
1. ファクシミリの原理
2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル

13．整式の除法(発展編)

　整式の除法については数学Ⅱ第1章 式と証明の1．整式の除法で基本的なことを学びました．また，数学Ⅱ第2章 複素数と方程式の4．剰余の定理・因数定理では，整式の除法における余りについて学びました．ここではこれらの発展的な問題について説明します．

例題　$x$ の整式 $f(x)$ を $(x+1{)}^2$ で割ると余りが $2x-2$ で，$(x+2{)}^2$ で割ると余りが $3x-1$ であるという．$f(x)$ を次の式で割った余りを求めよ．
(1)　$x+1$
(2)　$x+2$
(3)　$(x+1{)}^2(x+2)$
(4)　$(x+1{)}^2(x+2{)}^2$

答

(1),(2)

　$f(x)$ を $(x+1{)}^2$ で割ると余りが $2x-2$ ですから，$Q(x)$ を整式として

$$f(x)=(x+1{)}^{2}Q(x)+2x-2$$

と表せます．$Q(x)$ をこの割り算の商といいます．

　剰余の定理によれば，$f(x)$ を $x+1$ で割った余りは $f(-1)$ ですから，

$$f(-1)=0^2\cdot Q(-1)+2\cdot (-1)-2=-4.$$

　従って(1)の余りは $-4$ です．同様にして(2)は $f(-2)=3\cdot (-2)-1=-7$ から余りは $-7$ となります．

(1)(2)のこたえ　(1)　$-4$　　(2)　$-7$

別解

　さて，のちの発展問題に対処するため，この問題を別の方法でも解いてみます．

　$f(x)$ を $x+1$ で割ることを考える際，$(x+1{)}^{2}Q(x)$ の部分は $x+1$ で割り切れますから

$\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ を $\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}$ で割った余りは $\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}$ を $\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}$ で割った余りに等しい

ということがいえます．これをもっと簡単な例でいうと，$24÷7$ の余りを求めたいとき，

$$24=7\times 2+10$$

と変形したとして，$7\times 2$ の部分は 7 で割り切れますから，あとは残った 10 を 7 で割った余りを考えればよいということです．合同式の考え方と同じですね．

　$2x-2=2(x+1)-4$ ですから，$f(x)$ を $x+1$ で割った余りは $-4$ です．

　同様にして，

$f(x)=(x+2{)}^2(x$ の整式$)+3x-1$

ですから，$f(x)$ を $x+2$ で割った余りは $3x-1$ を $x+2$ で割った余りに等しく，

$$3x-1=3(x+2)-7$$

と変形できますから余りは $-7$ です．

　ここで大切なことは，

　$\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathit{g}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathit{h}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{r}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ と変形できるとき，$\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ を $\mathit{g}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ で割った余りは，$\mathit{r}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ を $\mathit{g}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ で割った余りに等しい

ということです．

(3)

　$f(x)$ を $(x+1{)}^2(x+2)$ で割った余りを $R(x)$ とすれば，

$f(x)=(x+1{)}^2(x+2)(x$ の整式$)+R(x)$

と表せます．そして既存の式から上の式を作り出すことを考えます．

　$f(x)=(x+1{)}^{2}Q(x)+2x-2$ でしたから，上の式をにらんで $Q(x)$ をあらかじめ1次式 $x+2$ で割っておきます．この

ポイント　　　　商を予め適当な式で割っておく

というのがコツです．余りを定数 $a$ とすると，

$Q(x)=(x+2)(x$ の整式$)+a$

と書けます．ここに整式の除法におけるもう1つの重要な事柄が出てきました。それは

(割る式の次数) ＞ (余りの次数)

です．割る式 $x+2$ は $x$ の1次式ですから，余りは0次式，すなわち定数です．それを $a$ とおいたのです．

　上の $Q(x)$ を $f(x)=(x+1{)}^{2}Q(x)+2x-2$ に代入すると

$f(x)=(x+1{)}^2\{$$(x+2)(x$の整式$)+a$$\}+2x-2.$

　変形をして

$f(x)=(x+1{)}^2(x+2)(x$の整式$)+$$a(x+1{)}^2+2x-2$.

　割る式 $(x+1{)}^2(x+2)$ は3次式ですから，余りは2次以下です． 　　　部分は2次以下ですから，これが求める余りです．あとは $a$ を決定します．

　冒頭で剰余の定理によって $f(-2)=-7$ でしたから，この式の $x$ を $-2$ とおくと，

$$-7=a(-2+1{)}^2+2\cdot (-2)-2$$

$$\therefore a=-1$$

　従って

　　　部分$=-(x+1{)}^2+2x-2=-x^2-3$

となり，これが求める余りです．

(3)のこたえ　$-x^2-3$

別解

　$f(x)=(x+1{)}^2(x+2)(x$の整式$)+a(x+1{)}^2+2x-2$ から，この式を $x+2$ で割った余りは $a(x+1{)}^2+2x-2$ を $x+2$ で割った余りに等しいことがわかります．よってこの式を $\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}$ について展開すると，

$$\begin{array}{rl}& a(x+1{)}^2+2x-2\\ =& a\{(x+2)-1{\}}^2+2(x+2)-6\\ =& {\underset{―}{a(x+2{)}^2-2a(x+2)+2(x+2)}}_{\mathrm{①}}+a-6\end{array}$$

となります．①は $x+2$ で割り切れますから，$f(x)$ を $x+2$ で割った余りは $a-6$ となり，これが $-7$ に等しいのですから $a=-1$．これ以降は先の解法と同じです．

(4)

　(3)より，$Q_1(x)$ を $x$ の整式として

$f(x)=(x+1{)}^2(x+2)Q_1(x)-x^2-3$

と表せます．ここから(3)と同様に，商である $Q_1(x)$ を $x+2$ で予め割っておきます．商を $Q_2(x)$，余りを $b$ とすると

$Q_1(x)=(x+2)Q_2(x)+b$

と表せます．これをすぐ上の式に代入して，

$$\begin{array}{rl}f(x)& =(x+1{)}^2(x+2)\{(x+2)Q_2(x)+b\}-x^2-3\\ & =(x+1{)}^2(x+2{)}^2{Q}_2(x)+\underset{―}{b(x+1{)}^2(x+2)-x^2-3}\end{array}$$

　この先，(3)では $f(-2)=-7$ を用いて解決できましたが，今回は $f(-2)=-7$ でも $f(-1)=-4$ でも $b$ が落ちてしまいます．

　 $f(x)$ を $(x+2{)}^2$ で割った余りは下線部$\underset{―}{}$を $(x+2{)}^2$ で割った余りと一致します．この部分を $x+2$ について展開してみましょう．

　$x+2=t$ とおくと，$x=t-2$ ですから，

$$\begin{array}{rl}& b(x+1{)}^2(x+2)-x^2-3\\ =& b\{(t-2)+1{\}}^{2}t-(t-2{)}^2-3\\ =& b(t^3-2t^2+t)-(t^2-4t+4)-3\\ =& b{t}^3-(2b+1)t^2+(b+4)t-7\end{array}$$

となります．$f(x)$ を $t^2$ 即ち $(x+2{)}^2$ で割った余りは，$(b+4)t-7$ 即ち $t$ を元に戻して

$$(b+4)(x+2)-7=(b+4)x+2b+1$$

となり，これが $3x-1$ ですから $b=-1$ となります．従って求める余りは上の下線部より，

$$-(x+1{)}^2(x+2)-x^2-3=\mathbf{-}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{5}$$

です．

(4)のこたえ　$-x^3-5x^2-5x-5$

高度な別解

　数学Ⅲの微分の知識が使えれば，$f(x)=(x+1{)}^2(x+2{)}^2{Q}_2(x)+b(x+1{)}^2(x+2)-x^2-3$ を微分して

　よって，

$$f^{\prime }(-2)=b+4$$

　従って $f^{\prime }(-2)$ がわかれば $b$ の値が求まりますが，これは最初の条件式 $f(x)=(x+2{)}^{2}Q(x)+3x-1$ から

$$f^{\prime }(x)=2(x+2)Q(x)+(x+2{)}^2{Q}^{\prime }(x)+3$$

$$\therefore f^{\prime }(-2)=3$$

　故に

$$3=b+4\therefore b=-1$$

という方法で $b$ を求めることもできます．

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2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
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5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル