関数の増減・単調性・増減表の使い方と例題をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積

4.　関数の値の変化

4.1　単調性

　実数の集合 $\{x|a\leqq x\leqq b\}$ や，$\{x|a<x<b\}$ などを区間という．

　ある区間において，区間内の任意の $x_1,x_2$ について，

$$x_1<x_2⟹f(x_1)<f(x_2)$$

が成り立つとき，$f(x)$ はその区間で単調に増加するという．

　同様に，ある区間において，

$$x_1<x_2⟹f(x_1)>f(x_2)$$

が成り立つとき，$f(x)$ はその区間で単調に減少するという．

　例えば関数 $y=x^2$ は，$x\leqq 0$ において単調に減少し，$x\geqq 0$ において単調に増加する．

　単調性はグラフを考えるとわかりやすい．単調に増加する $x$ の区間ではグラフが右上がりで，単調に減少する $x$ の区間ではグラフは右下がりである．

4.2　増減表

　関数 $f(x)$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ は，$f(x)$ のグラフについて接線の傾きの情報を与えていた．ある $x$ の区間で接線の傾きが常に正であれば，$f(x)$ のグラフはその区間で右上がりとなっているし，逆に接線の傾きが負となる区間では $f(x)$ のグラフは右下がりとなっている．従って次が成り立つ：

　　ある区間で常に $f^{\prime }(x)>0$
　　　　$⟹f(x)$ はその区間で単調に増加する
　　ある区間で常に $f^{\prime }(x)<0$
　　　　$⟹f(x)$ はその区間で単調に減少する
　　ある区間で常に $f^{\prime }(x)=0$
　　　　$⟹f(x)$ はその区間で定数である

　つまり

${\mathit{f}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ の符号を見れば，関数の増減がわかる

ということである．

補足

　　直感的にわかり易い内容であるが，厳密には証明が必要．詳しくは数学Ⅲの微分 9．関数の値の変化 を参照．

例題　関数 $y=x^2$ の増減を調べよ．

答

　$y^{\prime }=2x$ により，$y^{\prime }=0$ のとき $x=0$．

　$x$ の区間ごとの $y^{\prime }$ や $y$ を次のような表にまとめるとわかりやすい：

　この表を関数の増減表という．

　この増減表により
　　　$x\leqq 0$ で単調に減少する．
　　　$x\geqq 0$ で単調に増加する．

補足

　境界である $x=0$ は単調増加にも単調減少にも含める．(詳しくは数学Ⅲの微分法における関数の値の変化 を参照．)

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数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

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1. 微分係数
2. 導関数
3. 接線
4. 関数の値の変化
5. 極大・極小
6. 関数のグラフと方程式・不等式

7. 不定積分
8. 定積分
9. 様々な定積分
10. 面積