高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第6章 微分法・積分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数 | |||
| 2. 導関数 | |||
| 3. 接線 | |||
| 4. 関数の値の変化 | |||
| 5. 極大・極小 | |||
| 6. 関数のグラフと方程式・不等式 |
| 7. 不定積分 | |||
| 8. 定積分 | |||
| 9. 様々な定積分 | |||
| 10. 面積 |
4. 関数の値の変化
4.1 単調性
実数の集合 $\{x\ |\ a\leqq x\leqq b\}$ や，$\{x\ |\ a<x<b\}$ などを区間という．
ある区間において，区間内の任意の $x_1, x_2$ について，
\[x_1<x_2\ \Longrightarrow \ f(x_1)<f(x_2)\]
が成り立つとき，$f(x)$ はその区間で単調に増加するという．
同様に，ある区間において，
\[x_1<x_2\ \Longrightarrow \ f(x_1)>f(x_2)\]
が成り立つとき，$f(x)$ はその区間で単調に減少するという．
例えば関数 $y=x^2$ は，$x\leqq0$ において単調に減少し，$x\geqq0$ において単調に増加する．
単調性はグラフを考えるとわかりやすい．単調に増加する $x$ の区間ではグラフが右上がりで，単調に減少する $x$ の区間ではグラフは右下がりである．
4.2 増減表
ここでの目標は，関数 $f(x)$ の値が，$x$ の値が増加するにつれて，増加していくのか，減少していくのかを調べることにある．
グラフでいうと，右上がりなのか，右下がりなのかが知りたいのである．
それを探る手掛かりが，$f(x)$ の導関数である $f\,'(x)$ である．
接線は曲線とよく似ている
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は，$f(x)$ のグラフについて接線の傾きの情報を与えていた．
例えば，放物線 $y=x^2$ について，$y’=2x$ より，$x=1$ における接線の傾きは2である．
放物線は曲線で，接線は直線であるから，グラフの形状はもちろん異なる．
ところが今，$x=1$ の付近をどんどん拡大してみるとどうだろう．
曲線と接線はほとんど同じ形をしているではないか！
つまり
$\boldsymbol{x=1}$ のごく近くで，接線と放物線はとてもよく似ている
のである．
この事実を用いると，
$y=x^2$ は $x=1$ の付近で増加している
ことがわかる．
この考えを一般の場合に押し広げよう．