高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第3章 積分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 不定積分 | [無料] | ||
| 2. 置換積分法（不定積分） | [無料] | ||
| 3. 部分積分法（不定積分） | [無料] | ||
| 4. 定積分とその性質 | |||
| 5. 置換積分法（定積分） | |||
| 6. 部分積分法（定積分） | |||
| 7. 定積分と微分法 | |||
| 8. 定積分と和の極限 | |||
| 9. 定積分と不等式 | |||
| 10. 定積分の応用（面積） | |||
| 11. 定積分の応用（体積） | |||
| 12. 定積分の応用（回転体の体積） | |||
| 13. 曲線の長さ |
4．定積分とその性質
4.1 定積分とは
定積分については既に数学Ⅱで学習済みである．しかしここまでの学習で，積分できる関数のクラスは数学Ⅱまでの範囲とは比較にならないほど広がった．そこで改めて定積分とは何なのかという復習から始めたい．
定積分とは 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ の不定積分(原始関数)を $F(x)$ とすれば， \[F(b)-F(a)\ \ \cdots\mbox{①}\] を「関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分」といい，①を \[\int_a^b\!f(x)\,dx\] で表す．
定義の中に $f(x)$ の連続性があるが，これは積分可能性に関する断り書きであって，高校数学の範囲ではこの点が問題になることはほとんどない．数学Ⅱの定積分 の説明ではこのような記載はなかったが，それは数学Ⅱの定積分で相手にする関数が整式に限られていたためである．整式とは $2x+3$ や $x^2$ などのことを指すが，これらは実数全体で連続だから，もちろんその一部である閉区間 $[a, b]$ でも連続である．
補足1
①は $\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$ とも表す．即ち
\[\int_a^bf(x)dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]
補足2
$F(x)+C\ (C$ は定数)もまた $f(x)$ の不定積分であるが，
\[\begin{align*}
\Bigl[F(x)+C\Bigr]_a^b&=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}\\[5pt]
&=F(b)-F(a)
\end{align*}\]
であるから定積分の値は変わらない．
補足3
定数 $a,b$ に対して①は(定数)$-$(定数)だから，定積分は定数である．( $x$ の関数ではない．)
4.2 定積分の性質
\[\begin{align*}
&\mbox{①}\ \int_a^b\!kf(x)\,dx=k\int_a^b\!f(x)\,dx\ \ (k\ \mbox{は定数})\\[5pt]
&\mbox{②}\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx=\int_a^b\!f(x)\,dx\!+\!\int_a^b\!g(x)\,dx\\[5pt]
&\mbox{③}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=-\int_b^a\!f(x)\,dx\\[5pt]
&\hspace{5mm}\left(\mbox{特に，}\int_a^a\!f(x)\,dx=0\right)\\[5pt]
&\mbox{④}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=\int_a^c\!f(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx
\end{align*}\]
証明
③\[\begin{align*}
\mbox{左辺}&=F(b)-F(a)\\[5pt]
&=-\{F(a)-F(b)\}\\[5pt]
&=\mbox{右辺}
\end{align*}\]
また，③において $b$ も $a$ とおくと，
\[\int_a^a\!\!f(x)\,dx=-\int_a^a\!\!f(x)\,dx\]
\[\therefore \int_a^a\!\!f(x)\,dx=0\]
(定義より $\displaystyle\int_a^a\!\!f(x)\,dx\!=\!F(a)\!-\!F(a)=0$ でもよい．)
④\[\begin{align*}
\mbox{右辺}&=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\[5pt]
&=F(b)-F(a)\\[5pt]
&=\mbox{左辺}
\end{align*}\]
■
4.3 絶対値のついた関数の定積分
例題 定積分 $\displaystyle\int_{-1}^2|x^2-4x|dx$ を求めよ．
被積分関数に絶対値が含まれる場合，そのままの状態で積分しようとしてはいけない．積分する際は，常に絶対値記号を外してから行うのである．絶対値記号を外すといっても，定義域全体を考える必要はない．私たちが関心があるのは積分区間である $[-1,\ 2]$ だけである．この区間内で，絶対値記号の中身が0以上か否かを判定する．そして，積分区間の途中で符号が変わるたびに，積分区間を分けて計算しなければならない．
ポイント
絶対値のついたままでは積分できない
こたえ
積分区間である $[-1,\ 2]$ において，