1. 等差数列(ノート)
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数学B　第2章　数列

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1. 等差数列

1.1 等差数列とは

　　ある数に一定の数を次々と加えていくことで得られる数列を等差数列という．

例　2, 5, 8, 11, 14

　　上の例では5つの数が並んでいるが，これら1つ1つの数を数列の項という．特に最初の項を初項，最後の項を末項という．また，2に次々と3が加えられているが，この次々と加えていく一定の数を公差という．従ってこの数列は「初項2，公差3の等差数列」という言い方をする．

補足

　数列を「$a$」などと名付け，各項を $a_n$ という具合に添え字で区別する．例えば，$a_1=2$，$a_2=5$ など．数列そのものを表す場合は，$\{a_n\}$ のように中カッコ{ }を付けて表す：

　✕　$\ \ \ \ a_n=2,5,8,11,14$
　○　$\{a_n\}=\{2,5,8,11,14\}$

1.2 等差数列の一般項

　初項 $a$，公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ について，

\[\begin{align*} a_1&=a\hspace{9mm}=a+0d\\[5pt] a_2&=a_1+d=a+1d\\[5pt] a_3&=a_2+d=a+2d\\[5pt] &\vdots\\[5pt] a_n&=a+(n-1)d \end{align*}\]

　数列の第 $n$ 項を $n$ で表した式を，その数列の一般項という．従って初項 $a$，公差 $d$ の等差数列の一般項は次のようになる：

等差数列の一般項　初項 $a$，公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項（第$n$項）は，\[a_n=a+(n-1)d\]

例　初項2，公差3の等差数列$\{a_n\}$ の一般項は，\[a_n=2+(n-1)\times3\ \therefore a_n=3n-1\]

1.3 等差数列の和

　　初項 $a$，公差 $d$ の等差数列の，初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする．また，第 $n$ 項を $l$ とする．

\[\begin{array}{rl} S_n\!=\!\!\!\!\!&a\!+\!(a\!+\!d)\!+\!(a\!+\!2d)\!+\!\cdots\!+\!(l\!-\!2d)\!+\!(l\!-\!d)\!+\!l\\[5pt] +)\ S_n\!=\!\!\!\!\!&l\!+\!(l\!-\!d)\!+\!(l\!-\!2d)\!+\!\cdots\!+\!(a\!+\!2d)\!+\!(a\!+\!d)\!+\!a\\[5pt] \hline 2S_n\!=\!(a\!\!\!\!\!\!&+l)\!+\!(a\!+\!l)\!+\!(a\!+\!l)\!+\!\cdots\!+\!(a\!+\!l)\!+\!(a\!+\!l)\!+\!(a\!+\!l) \end{array}\]

　右辺には $n$ 個の $a+l$ があるから，

\[\begin{align*} \therefore S_n&=\frac12n(a+l)\\[5pt] &=\frac12n\{2a+(n-1)d\} \end{align*}\]

等差数列の和　初項$a$，公差$d$ の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項（$=l$とする）までの和$S_n$は，\begin{align*}S_n&=\frac12n(a+l)\\[5pt] &=\frac12n\{2a+(n-1)d\}\end{align*}

例1　初項2，公差3の等差数列の，初項から第5項までの和 $2+5+8+11+14$ は， \[S_5=\frac12\cdot5(2+14)=\underline{\boldsymbol{40}}\] 　　　または， \[S_5=\frac12\cdot5\{2\cdot2+(5-1)\cdot3\}==\underline{\boldsymbol{40}}\]

例2　$S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)$
　　　(奇数 $n$ 個の和)
\[S_n=\frac12\cdot n\{1+(2n-1)\}=\underline{\boldsymbol{n^2}}\]

公式　初項 $1$，公差 $2$ の等差数列（奇数の列）の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は，\[S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\]

1.4 等差数列の性質

　$a,b,c$ が等差数列のとき，真ん中の項を等差中項という．

\[\begin{align*} \mbox{数列}\ a,b,c\ \mbox{が等差数列}&\iff b-a=c-b\\[5pt] &\iff 2b=a+c \end{align*}\]

　従って次が成り立つ：

等差中項の関係式\[\mbox{数列}a,b,c\ \mbox{が等差数列}\iff 2b=a+c\]

補足

　$b=\dfrac{a+c}2$ となるから，等差中項は前後2項の相加平均である．

定理　公差が0でないとき，\[\mbox{数列}\{a_n\}\mbox{が等差数列}\iff a_n=(n\mbox{の1次式})\]

証明

$\Rightarrow)\ a_n=(n-1)d=dn+(a-d)$
$\Leftarrow)\ a_n=pn+q\ (p\neq0)$とすると，
　　$a_{n+1}-a_n=\{p(n+1)+q\}-(pn+q)=q$ (定数}

■

補足

①　「$\{a_n\}$ が等差数列」
　　　→　$a_n=a+(n-1)d$ とおく．
　　　　　　または，
　　　　　$a_n=pn+q$ とおく．
②　「$\{a_n\}$ が等差数列であることを示せ．」
　　　→　$a_n$ が $n$ の1次式で書けることを示す．

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