このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和        【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1. 等差数列

1.1 等差数列とは

1.2 等差数列の一般項

等差数列の一般項 初項$a$,公差$d$ の等差数列$\{a_n\}$の一般項(第$n$項)は,\[a_n=a+(n-1)d\]

 ①の一般項は, \[a_n=2+(n-1)\times3\ \therefore a_n=3n-1\]

1.3 等差数列の和

等差数列の和 初項$a$,公差$d$ の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項($=l$とする)までの和$S_n$は,\begin{align*}S_n&=\frac12n(a+l)\\[5pt] &=\frac12n\{2a+(n-1)d\}\end{align*}

例1 ①の和 $2+5+8+11+14$ は, \[S_5=\frac12\cdot5(2+14)=\underline{\boldsymbol{40}}\]    または, \[S_5=\frac12\cdot5\{2\cdot2+(5-1)\cdot3\}==\underline{\boldsymbol{40}}\]

例2 $S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)$
   (奇数 $n$ 個の和)
\[S_n=\frac12\cdot n\{1+(2n-1)\}=\underline{\boldsymbol{n^2}}\]

公式 初項 $1$,公差 $2$ の等差数列(奇数の列)の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は,\[S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\]

1.4 等差数列の性質

 $a,b,c$ が等差数列のとき,真ん中の項を等差中項という.

\[\begin{align*} \mbox{数列}\ a,b,c\ \mbox{が等差数列}&\iff b-a=c-b\\[5pt] &\iff 2b=a+c \end{align*}\]

 従って次が成り立つ:

等差中項の関係式\[\mbox{数列}a,b,c\ \mbox{が等差数列}\iff 2b=a+c\]

補足

 $b=\dfrac{a+c}2$ となるから,等差中項は前後2項の相加平均である.

定理 公差が0でないとき,\[\mbox{数列}\{a_n\}\mbox{が等差数列}\iff a_n=(n\mbox{の1次式})\]

証明

$\Rightarrow)\ a_n=(n-1)d=dn+(a-d)$
$\Leftarrow)\ a_n=pn+q\ (p\neq0)$とすると,
  $a_{n+1}-a_n=\{p(n+1)+q\}-(pn+q)=q$ (定数}

補足

① 「$\{a_n\}$ が等差数列」
   → $a_n=a+(n-1)d$ とおく.
      または,
     $a_n=pn+q$ とおく.
② 「$\{a_n\}$ が等差数列であることを示せ.」
   → $a_n$ が $n$ の1次式で書けることを示す.


高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和        【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.