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高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

  スライド ノート
1. 等差数列 [無料]  
2. 等比数列 [無料]  
3. Σ(シグマ)と和の公式 [無料]  
4. 階差数列 [会員]  
5. 数列の和と一般項 [会員]  
6. $a_n=b_n-b_{n-1}$ 型の和 [会員]  
7. (等差)×(等比)の和 [会員]  
8. 群数列 [会員]  
9. 隣接2項間漸化式(その1) [会員]  
10. 隣接2項間漸化式(その2) [会員]  
11. 隣接3項間漸化式 [会員]  

8. 群数列

8.1　群数列の解法

　数列をグループ(群)に分けた数列を群数列という．高校数学の問題ではこのグループ分けにもれなく一定の規則がある．群数列にまつわる問題は解法がワンパターンで，あらゆる問題が同じ手法で解けると言っても過言ではない．それほどクセの強い数列が群数列なのである．そしてその手法とは

　群数列の考え方のポイント各群の末項に着目する．
　→　それが最初から何番目の項か調べる．

である．各群の末項が最初から数えて何番目の項かという情報さえ得られれば，仕事の半分以上は終わったも同然である．

例題
　偶数の列を次のように群に分けたとき，第4群の2番目の数を求めよ．
\[2\ |\ 4,6,8\ |\ 10,12,13,16,18\ |\ 20,22,24,\cdots\]

答

　第 $k$ 群には $(2k-1)$ 個の項があるから，第 $n$ 群の末項は最初から数えて

\[\begin{align*}
1+3+5+\cdots+(2n-1)&=\sum_{k=1}^n(2k-1)\\[5pt]
&=n^2\ \ (\mbox{番目})
\end{align*}\]

　この情報が得られれば，第4群の2番目の数は，第3群の末項の2つあとであるから，最初から数えて $3^2+2=11$ 番目の項であるとわかる．

　与えられた数列(偶数の列)の一般項は $2n$ であるから，求める数は

\[2\times11=\underline{\boldsymbol{22}}\]

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演習問題

1　$2\,|\,4,6,8\,|\,10,12,14,16,18\,|\,20,22,24,\cdots$ のように偶数の列を，順に1個，3個，5個，$\cdots$ の群に分ける．
(1)　第 $n$ 群の初項を求めよ．
(2)　第 $n$ 群の数の和を求めよ．
(3)　第10群の4番目の数を求めよ．
(4)　1000は第何群の何番目の数か．

2　数列 $1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,\cdots$ において次の各問いに答えよ．
(1)　$m$ 回目の $n$ は初項から数えて何番目に現れるか．
(2)　第100項を求めよ．

3　数列 $\dfrac11,\dfrac12,\dfrac21,\dfrac13,\dfrac22,\dfrac31,\dfrac14,\dfrac23,\dfrac32,\dfrac41,\dfrac15,\cdots$ において次の各問いに答えよ．
(1)　$\dfrac5{13}$ は第何項か．
(2)　第100項を求めよ．

解答

1　$2\,|\,4,6,8\,|\,10,12,14,16,18\,|\,20,22,24,\cdots$ のように偶数の列を，順に1個，3個，5個，$\cdots$ の群に分ける．
(1)　第 $n$ 群の初項を求めよ．
(2)　第 $n$ 群の数の和を求めよ．
(3)　第10群の4番目の数を求めよ．
(4)　1000は第何群の何番目の数か．

こたえ

　第 $k$ 群には $2k-1$ 個の項があるから，第 $k$ 群の末項は最初から数えて

$1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$ (番目)

の項である．