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高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和         【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

4. 階差数列

4.1 階差数列とは

4.2 階差数列と一般項

 数列$\{a_n\}$の初項を$a$,階差数列を$\{b_n\}$とすると,$n\geqq 2$ のとき,\[a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\]

補足

$n\geqq2$ の制限について.

① $n=1$ のとき,$\displaystyle a_1=a+\sum_{k=1}^0 b_k$ となって,$\sum$ が意味をなさない.

② $a_1$ の場合が含まれてしまうことがほとんどであるが,もちろんそうでない場合もある.例えば, \[ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}\] という数列の階差数列は \[0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ \cdots\ \ \gets\ \{b_n\}\] となるから,$n\geqq2$ のとき, \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[5pt] &=2+(n-2)\\[5pt] &=n \end{align*}\] となる.これは $n=1$ のときを正しく表していない.
 故に,$\underline{\boldsymbol{a_1=2,\ a_n=n\ (n\geqq2)}}$ となる.
 因みに数列$\{a_n\}$ は,場合分けせずに \[a_n=\left|n-\frac32\right|+\frac32\] と書くこともできる.

例1 $1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}$

 階差数列:$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots\ \gets\ \ \{
b_n\}$
 よって,$b_n=2n-1$
 $n\geqq 2$ のとき, \[a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=\cdots=n^2-2n+2\]  これは $n=1$ のときも成立.
 故に,$\underline{\boldsymbol{a_n=n^2-2n+2}}$

例2 $2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}$

 階差数列:$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \cdots\ \ \gets\ \{b_n\}$
 よって,$b_n=3\cdot2^{n-1}$
 $n\geqq 2$ のとき, \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}(3\cdot2^{k-1})\\[5pt] &=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}\\[5pt] &=3\cdot2^{n-1}-1 \end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい.)

 故に,$\underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}$


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数学B 第2章 数列

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1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和         【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.