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高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

  スライド ノート
1. 等差数列 [無料]  
2. 等比数列 [無料]  
3. Σ(シグマ)と和の公式 [無料]  
4. 階差数列 [会員]  
5. 数列の和と一般項 [会員]  
6. $a_n=b_n-b_{n-1}$ 型の和 [会員]  
7. (等差)×(等比)の和 [会員]  
8. 群数列 [会員]  
9. 隣接2項間漸化式(その1) [会員]  
10. 隣接2項間漸化式(その2) [会員]  
11. 隣接3項間漸化式 [会員]  

4. 階差数列

4.1 階差数列とは

 数列の差をとって得られる数列を,元の数列の階差数列という.

例1 $2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 12$
 差をとると,$1,\ 2,\ 3,\ 4$
  → 階差数列は初項1,公差1の等差数列

例2 $2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47$
 差をとると,$3,\ 6,\ 12,\ 24$
  → 階差数列は初項3,公比2の等比数列

例3 $2,\ 10,\ 30,\ 68,\ 130,\ 222$
 差をとると,$8,\ 20,\ 38,\ 62,\ 92$
 もう一度差をとると,$12,\ 18,\ 24,\ 30$
  → 第2階差数列は初項2,公比6の等差数列

補足

 例3のように,複数回にわたって差をとるとき,差をとった順に「第1階差数列,第2階差数列,$\cdots$」という.

4.2 階差数列と一般項

 次の数列の一般項を考える:

\[1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots\]

 この数列を $\{a_n\}$ とし,$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とする.$\{b_n\}$ は次のようになる:

\[1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots\]

すると,

\[\begin{align*} a_1&=1\\[5pt] a_2&=a_1+1=a_1+b_1\\[5pt] a_3&=a_2+3=a_1+(b_1+b_2)\\[5pt] a_4&=a_3+5=a_1+(b_1+b_2+b_3)\\[5pt] &\vdots\\[5pt] a_n&=a_{n-1}+b_{n-1}=a_1+(b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}) \end{align*}\]

 従って一般項について,次が成り立つ:

 数列$\{a_n\}$の初項を$a$,階差数列を$\{b_n\}$とすると,$n\geqq 2$ のとき,\[a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\]

補足

$n\geqq2$ の制限について.

① $n=1$ のとき,$\displaystyle a_1=a+\sum_{k=1}^0 b_k$ となって,$\sum$ が意味をなさない.

② $a_1$ の場合が含まれてしまうことがほとんどであるが,もちろんそうでない場合もある.例えば, \[ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}\] という数列の階差数列は \[0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ \cdots\ \ \gets\ \{b_n\}\] となるから,$n\geqq2$ のとき, \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[5pt] &=2+(n-2)\\[5pt] &=n \end{align*}\] となる.これは $n=1$ のときを正しく表していない.
 故に,$\underline{\boldsymbol{a_1=2,\ a_n=n\ (n\geqq2)}}$ となる.
 因みに数列$\{a_n\}$ は,場合分けせずに \[a_n=\left|n-\frac32\right|+\frac32\] と書くこともできる.

例1 $1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}$

 階差数列:$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots\ \gets\ \ \{
b_n\}$
 よって,$b_n=2n-1$
 $n\geqq 2$ のとき, \[a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=\cdots=n^2-2n+2\]  これは $n=1$ のときも成立.
 故に,$\underline{\boldsymbol{a_n=n^2-2n+2}}$

例2 $2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}$

 階差数列:$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \cdots\ \ \gets\ \{b_n\}$
 よって,$b_n=3\cdot2^{n-1}$
 $n\geqq 2$ のとき, \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}(3\cdot2^{k-1})\\[5pt] &=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}\\[5pt] &=3\cdot2^{n-1}-1 \end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい.)

 故に,$\underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}$


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