4. 階差数列(ノート) スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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4. 階差数列

4.1　階差数列とは

　数列の差をとって得られる数列を，元の数列の階差数列という．

例1　$2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 12$
　差をとると，$1,\ 2,\ 3,\ 4$
　　→　階差数列は初項1，公差1の等差数列

例2　$2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47$
　差をとると，$3,\ 6,\ 12,\ 24$
　　→　階差数列は初項3，公比2の等比数列

例3　$2,\ 10,\ 30,\ 68,\ 130,\ 222$
　差をとると，$8,\ 20,\ 38,\ 62,\ 92$
　もう一度差をとると，$12,\ 18,\ 24,\ 30$
　　→　第2階差数列は初項2，公比6の等差数列

補足

　例3のように，複数回にわたって差をとるとき，差をとった順に「第1階差数列，第2階差数列，$\cdots$」という．

4.2　階差数列と一般項

　次の数列の一般項を考える：

\[1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots\]

　この数列を $\{a_n\}$ とし，$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とする．$\{b_n\}$ は次のようになる：

\[1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots\]

すると，

\[\begin{align*} a_1&=1\\[5pt] a_2&=a_1+1=a_1+b_1\\[5pt] a_3&=a_2+3=a_1+(b_1+b_2)\\[5pt] a_4&=a_3+5=a_1+(b_1+b_2+b_3)\\[5pt] &\vdots\\[5pt] a_n&=a_{n-1}+b_{n-1}=a_1+(b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}) \end{align*}\]

　従って一般項について，次が成り立つ：

　数列$\{a_n\}$の初項を$a$，階差数列を$\{b_n\}$とすると，$n\geqq 2$ のとき，\[a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\]

補足

$n\geqq2$ の制限について．

①　$n=1$ のとき，$\displaystyle a_1=a+\sum_{k=1}^0 b_k$ となって，$\sum$ が意味をなさない．

②　$a_1$ の場合が含まれてしまうことがほとんどであるが，もちろんそうでない場合もある．例えば， \[ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}\] という数列の階差数列は \[0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ \cdots\ \ \gets\ \{b_n\}\] となるから，$n\geqq2$ のとき， \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[5pt] &=2+(n-2)\\[5pt] &=n \end{align*}\] となる．これは $n=1$ のときを正しく表していない．
　故に，$\underline{\boldsymbol{a_1=2,\ a_n=n\ (n\geqq2)}}$ となる．
　因みに数列$\{a_n\}$ は，場合分けせずに \[a_n=\left|n-\frac32\right|+\frac32\] と書くこともできる．

例1　$1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}$

　階差数列：$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots\ \gets\ \ \{
b_n\}$
　よって，$b_n=2n-1$
　$n\geqq 2$ のとき， \[a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)=\cdots=n^2-2n+2\] 　これは $n=1$ のときも成立．
　故に，$\underline{\boldsymbol{a_n=n^2-2n+2}}$

例2　$2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47,\ \cdots\ \ \gets\ \{a_n\}$

　階差数列：$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \cdots\ \ \gets\ \{b_n\}$
　よって，$b_n=3\cdot2^{n-1}$
　$n\geqq 2$ のとき， \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}(3\cdot2^{k-1})\\[5pt] &=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}\\[5pt] &=3\cdot2^{n-1}-1 \end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい．)

　故に，$\underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}$

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