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6. $a_n=b_b-b_{n-1}$型の和

6.1 部分分数分解

例1

$S_n=\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$を求めよ.

例2

$S_n=\dfrac1{1\cdot3}+\dfrac1{3\cdot 5}+\dfrac1{5\cdot7}+\cdots+\dfrac1{(2n-1)(2n+1)}$を求めよ.

部分分数分解\begin{align*}&[1]\ \ \frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\\[5pt] &[2]\ \ \frac1{n(n\!+\!1)(n\!+\!2)}\!=\!\frac12\left\{\!\frac1{n(n\!+\!1)}\!-\!\frac1{(n\!+\!1)(n\!+\!2)}\!\right\}\\[5pt] &[3]\ \ \frac n{(n+1)!}=\frac1{n!}-\frac1{(n+1)!}\end{align*}

6.2 $a_n=b_b-b_{n-1}$型の和

まとめ\begin{align*}&[1]\ \ \sum_{k=1}^nk=\frac12n(n+1)\\[5pt] &[2]\ \ \sum_{k=1}^nk(k+1)=\frac13n(n+1)(n+2)\\[5pt] &[3]\ \ \sum_{k=1}^nk(k\!+\!1)(k\!+\!2)\!=\!\frac14n(n\!+\!1)(n\!+\!2)(n\!+\!3)\end{align*}