6. $a_n=b_n-b_{n-1}$ 型の和(ノート)
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数学B　第2章　数列

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6. $a_n=b_n-b_{n-1}$ 型の和

6.1　部分分数分解

例題1　$S_n=\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$ を求めよ．

答

✕　$S_n=\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{12}+\cdots+\dfrac1{n^2+n}$
○　$S_n\!=\!\left(\dfrac11\!-\!\dfrac12\right)\!+\!\left(\dfrac12\!-\!\dfrac13\right)\!+\!\left(\dfrac13\!-\!\dfrac14\right)\!+\!\cdots\!+\!\left(\dfrac1n\!-\!\dfrac1{n+1}\right)$
　　$=1-\dfrac1{n\!+\!1}$
　　$=\underline{\boldsymbol{\dfrac n{n+1}}}$

例題2　$S_n=\dfrac1{1\cdot3}+\dfrac1{3\cdot 5}+\dfrac1{5\cdot7}+\cdots+\dfrac1{(2n-1)(2n+1)}$ を求めよ．

答

\[\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}=\frac2{(2n-1)(2n+1)}\] 　両辺を2で割って， \[\frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)=\frac1{(2n-1)(2n+1)}\] 　よって， \[\begin{align*} S_n&=\!\frac12\left(\frac11\!-\!\frac13\right)\!+\!\frac12\left(\frac13\!-\!\frac15\right)\!+\!\cdots\!+\!\frac12\left(\frac1{2n\!-\!1}\!-\!\frac1{2n\!+\!1}\right)\\[5pt] &=\!\frac12\left\{\left(\frac11\!-\!\frac13\right)\!+\!\left(\frac13\!-\!\frac15\right)\!+\!\cdots\!+\!\left(\frac1{2n\!-\!1}\!-\!\frac1{2n\!+\!1}\right)\right\}\\[5pt] &=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac n{2n+1}}} \end{align*}\]

部分分数分解\begin{align*}&[1]\ \ \frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\\[5pt] &[2]\ \ \frac1{n(n\!+\!1)(n\!+\!2)}\!=\!\frac12\left\{\!\frac1{n(n\!+\!1)}\!-\!\frac1{(n\!+\!1)(n\!+\!2)}\!\right\}\\[5pt] &[3]\ \ \frac n{(n+1)!}=\frac1{n!}-\frac1{(n+1)!}\end{align*}

6.2　$a_n=b_n-b_{n-1}$ 型の和

　数列 $\{a_n\}$ が，

\[a_n=b_n-b_{n-1}\ (=-b_{n-1}+b_n)\ \ \cdots(*)\]

と表されているならば， \[\begin{align*} \sum_{k=1}^n a_k&=\sum_{k=1}^n (-b_{k-1}+b_k)\\[5pt] &=(-b_0+b_1)+(-b_1+b_2)+\cdots+(-b_{k-1}+b_k)\\[5pt] &=b_n-b_0 \end{align*}\] と $\{a_n\}$ の和が簡単に求まる：

\[\sum_{k=1}^n a_k=b_n-b_0\]

　ただし，$b_0$ は $b_n$ の式で $n=0$ とおいた形式的なものである．

　$(*)$ を満たす $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の例には次のようなものがある：

①　$a_n=n,\ b_n=\dfrac12n(n+1)$ \[\begin{align*} \sum_{k=1}^n k&=\sum_{k=1}^n \left\{\frac12k(k+1)-\frac12(k-1)k\right\}\\[5pt] &=\frac12n(n+1)-0\\[5pt] &=\frac12n(n+1) \end{align*}\]

②　$a_n=n(n+1),\ b_n=\dfrac13n(n+1)(n+2)$ \[\begin{align*} \sum_{k=1}^n k(k+1)&=\sum_{k=1}^n \left\{\frac13k(k\!+\!1)(k\!+\!2)\!-\!\frac13(k\!-\!1)k(k\!+\!1)\right\}\\[5pt] &=\frac13n(n+1)(n+2)-0\\[5pt] &=\frac13n(n+1)(n+2) \end{align*}\]

③　$a_n=n(n\!+\!1)(n\!+\!2),\ b_n=\dfrac14n(n\!+\!1)(n\!+\!2)(n\!+\!3)$ \[\begin{align*} &\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n \left\{\frac14k(k\!+\!1)(k\!+\!2)(k\!+\!3)\!-\!\frac14(k\!-\!1)k(k\!+\!1)(k\!+\!2)\right\}\\[5pt] &=\frac14n(n+1)(n+2)(n+3)-0\\[5pt] &=\frac14n(n+1)(n+2)(n+3) \end{align*}\]

まとめ\begin{align*}&[1]\ \ \sum_{k=1}^nk=\frac12n(n+1)\\[5pt] &[2]\ \ \sum_{k=1}^nk(k+1)=\frac13n(n+1)(n+2)\\[5pt] &[3]\ \ \sum_{k=1}^nk(k\!+\!1)(k\!+\!2)\!=\!\frac14n(n\!+\!1)(n\!+\!2)(n\!+\!3)\end{align*}

例題　$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2$ を計算せよ．

答

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^n k^2&=\sum_{k=1}^n \{k(k+1)-k\}\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n k(k+1)-\sum_{k=1}^n k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n \left\{\frac13k(k\!+\!1)(k\!+\!2)\!-\!\frac13(k\!-\!1)k(k\!+\!1)\right\}\\[5pt] &\hspace{15mm}-\sum_{k=1}^n \left\{\frac12k(k+1)-\frac12(k-1)k\right\}\\[5pt] &=\frac13n(n+1)(n+2)-\frac12n(n+1)\\[5pt] &=\frac16n(n+1)\{2(n+2)-3\}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac16n(n+1)(2n+1)}} \end{align*}\]

補足

　上の例は，$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2$ の別証明を与えていることになる．（最初に示した方法はこちら．）

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