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高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

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2. 等比数列

2.1 等比数列とは

 ある数に一定の数を次々と掛けていくことで得られる数列を等比数列という.

 2, 6, 18, 54, 162

 上の例は,2に次々と3を掛けていくことで得られる等比数列の初項から第5項である.このとき,次々と掛けていく一定の数3をこの等比数列の公比という.従ってこの数列は「初項2,公比3の等比数列」という言い方をする.

2.2 等比数列の一般項

 初項 $a$,公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$ について,

\[\begin{align*} a_1&=a=ar^0\\[5pt] a_2&=a_1r=ar^1\\[5pt] a_3&=a_2r=ar^2\\[5pt] &\vdots\\[5pt] a_n&=ar^{n-1} \end{align*}\]

 よって,初項 $a$ ,公比 $r$ の等比数列の一般項は次のようになる:

等比数列の一般項 初項$a$,公比$r$ の等比数列$\{a_n\}$の一般項(第$n$項)は,\[a_n=ar^{n-1}\]

 初項2,公比3の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項は,

\[a_n=2\cdot3^{n-1}\]

2.3 等比数列の和

 初項 $a$,公比 $r$ の等比数列の,初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする.

[1] $r\neq1$ のとき

\[\begin{array}{rl} S_n\!=\!\!\!\!\!&a\!+\!ar\!+\!ar^2\!+\!\cdots\!+\!ar^{n-1}\\[5pt] +)\ rS_n\!=\!\!\!\!\!&\hspace{6mm}ar\!+\!ar^2\!+\!\cdots\!+\!ar^{n-1}\!+\!ar^n\\[5pt] \hline (1-r)S_n\!=\!\!\!\!\!&\,a\hspace{38mm}-ar^n \end{array}\]

 $1-r\neq0$ であるから, \[\begin{align*} S_n&=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\\[5pt] &=\frac{a(r^n-1)}{r-1} \end{align*}\]

[2] $r=1$ のとき
 公比が1のとき,各項はすべて初項と同じ $a$ であるから, \[\begin{align*} S_n&=a+a+a+\cdots+a\\[5pt] &=na \end{align*}\]

等比数列の和  初項 $a$,公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は,$r\neq1$ のとき,\[\begin{align*}S_n&=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\ \ (r>1\mbox{のとき})\\[5pt] &=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \ (r<1\mbox{のとき}) \end{align*}\]  $r=1$ のとき \[S_n=na\]

 初項2,公比3の等比数列の初項から第5項までの和は, \[S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=\underline{\boldsymbol{242}}\]

2.4 等比数列の性質

 数列 $a,b,c$ が等比数列のとき,真ん中の項 $b$ を等比中項という.
 $a,b,c$ が0でないとき, \[\begin{align*} a,b,c\ \mbox{が等比数列}&\iff \frac ba=\frac cb\\[5pt] &\iff b^2=ac \end{align*}\]  従って,次が成り立つ:

等比中項の関係式 $a,b,c$ が0でないとき,\[\mbox{数列}\ a,b,c\ \mbox{が等比数列}\iff b^2=ac\]

補足

 $b>0$ ならば,$b=\sqrt{ac}$ となり,等比中項は前後2項の相乗平均となっている.


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