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高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和          【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)      【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

10. 隣接2項間漸化式その2

10.1 一般型の発展的な考え方

 $a_{n+1}=pa_n+q$ 型の一般項は,

\[a_n=Ap^{n-1}+B\]

の形になる.更に $B$ は,特性方程式 $\alpha=p\alpha+q$ の解となるから,残るは $A$ のみ.しかし $A$ は $a_1$ から簡単に求まる.

 9.4節の例題($a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1$ )で考えると, \[a_n=A\cdot2^{n-1}-1\]  $a_1=2$ より, \[A\cdot2^0-1=2\ \ \therefore A=3\]  よって一般項は, \[\underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}\]

 これを逆手に取って,次のような答案を作ることもできる:

解答例

 $x=2x+1$ の解を $\alpha\ (=-1)$ とし, \[b_n=A\cdot2^{n-1}+\alpha\] すなわち,$b_n=A\cdot2^{n-1}-1$ を作ると, \[\begin{align*} b_{n+1}&=A\cdot2^n-1\\[5pt] &=2(\underline{A\cdot2^{n-1}-1})+1\\[5pt] &\ \ \ \ \ \ \ \ (\uparrow\mbox{無理矢理 } b_n \mbox{を作った})\\[5pt] &=2b_n+1 \end{align*}\] となって,$\{b_n\}$ は $\{a_n\}$ と同じ漸化式を満たす.(つまり,数列の生成過程が全くの同一であるということ.)
 その上,初項まで同じであると,すべての $n$ で $a_n=b_n$ が成り立つ.よって $b_1=a_1$ より, \[A-1=2\ \therefore A=3\]  故に,$\underline{\boldsymbol{a_n}}(=b_n)\underline{\boldsymbol{=3\cdot2^{n-1}-1}}$

10.2 分数型 $\left(a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}\right)$

$\boldsymbol{a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}}$ 型の漸化式

解法の手順

(下準備) $x=\dfrac{px+q}{rx+s}$ の解 $\alpha, \beta$ を求める.
 ↓
$a_{n+1}-\alpha$ または $a_{n+1}-\beta$ を調べる.
 ↓
逆数をとる.

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=2-\dfrac1{a_n}$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

(下準備)
 漸化式の右辺を通分すると \[\begin{align*} a_{n+1}&=\frac{2a_n-1}{a_n}\ \gets\ \boldsymbol{a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}}\mbox{型}\\[5pt] \to\ \ \ \ \ x&=\frac{2x-1}x\\[5pt] x^2&-2x+1=0\\[5pt] \therefore x&=1\ \ (\mbox{重解}) \end{align*}\] (下準備ここまで)

\[a_{n+1}-1=\left(2-\dfrac1{a_n}\right)-1=\dfrac{a_n-1}{a_n}\] $\therefore a_{n+1}-1=\dfrac{a_n-1}{a_n}\ \cdots$ ①

であり,初項と漸化式よりすべての $n$ で $a_n\neq1$ であるから,$a_n-1\neq0$.
 よって,①の両辺の逆数をとって, \[\begin{align*} \frac1{a_{n+1}-1}&=\frac{a_n}{a_n-1}\\[5pt] \therefore \frac1{a_{n+1}-1}&=\frac1{a_n-1}+1 \end{align*}\]  ここで,$b_n=\dfrac1{a_n-1}$ とおくと,数列 $\{b_n\}$ は初項 $\dfrac1{a_1-1}=1$,公差 $1$ の等差数列であるから, \[\begin{align*} \frac1{a_n-1}&=n\\[5pt] \therefore a_n-1&=\frac1n\\[5pt] \end{align*}\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=\frac{n+1}n}}\]


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1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
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4. 階差数列            【ノート
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6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
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