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高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

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1. 等差数列 [無料]  
2. 等比数列 [無料]  
3. Σ(シグマ)と和の公式 [無料]  
4. 階差数列 [会員]  
5. 数列の和と一般項 [会員]  
6. $a_n=b_n-b_{n-1}$ 型の和 [会員]  
7. (等差)×(等比)の和 [会員]  
8. 群数列 [会員]  
9. 隣接2項間漸化式(その1) [会員]  
10. 隣接2項間漸化式(その2) [会員]  
11. 隣接3項間漸化式 [会員]  

5. 数列の和と一般項

5.1 和と一般項の関係

\[\begin{array}{rll} S_n&=a_1\!+\!a_2\!+\!\cdots\!+\!a_{n-1}\!+\!a_n&\\[5pt] -)\ S_{n-1}&=a_1\!+\!a_2\!+\!\cdots\!+\!a_{n-1}&(\gets n\geqq2)\\[5pt]\hline S_n-S_{n-1}&=\hspace{33mm}a_n& \end{array}\]

 また,$S_1=a_1$.

まとめ 数列$\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると,\begin{align*}&a_1=S_1\\[5pt] &a_n=S_n-S_{n-1}\ \ (n\geqq 2)\end{align*}

補足

 $a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\geqq2)$ で無理に $n=1$ とおくと, \[a_1=S_1-S_0\] となるから,$n=1$ の場合が含まれるのは,$S_0=0$ のときである.

例題
 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=n^2+6n$ のとき,一般項 $a_n$ を求めよ.

 $a_1=S_1=7$

\[\begin{array}{rll} S_n&=n^2+6n&\\[5pt] -)\ S_{n-1}&=(n-1)^2+6(n-1)&(\gets n\geqq2)\\[5pt]\hline S_n-S_{n-1}&=2n+5& \end{array}\]

 $\therefore a_n=2n+5$ ($n=1$ のときもこれでよい.)

 故に,$\underline{\boldsymbol{a_n=2n+5}}$


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