このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和         【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

7. (等差)×(等比)の和

 7.1 (等差)×(等比)の和の求め方

例1 $S=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$

  $1,2,3,\cdots ,n\ \to$ 初項1,公差1の等差数列
  $1,x,x^2,\cdots ,x^{n-1}\ \to$ 初項1,公比 $x$ の等比数列

ポイント  (等差)✕(等比)の和の求め方
  等比数列の公比を $r$ とすると, \[rS\ \mbox{を作る}\ \to\ S-rS\]

\[\begin{array}{rlrl} S\!\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+2x\!\!\!\!\!&+3x^2+\cdots+\ \ \ nx^{n-1}\\[5pt] -)\ \ xS\!\!\!\!&=\!\!\!\!\!&x\!\!\!\!\!&+2x^2+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n\\[5pt]\hline (1-x)S\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+x\!\!\!\!\!&+\ \ x^2+\cdots+\ \ \ \ \ x^{n-1}\ \ \ \ \ -nx^n \end{array}\]

 $\underline{x\neq1 \mbox{のとき}}$

\[\begin{align*} S&=\frac1{1-x}\left(\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n\right)\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}}} \end{align*}\]

 $\underline{x=1 \mbox{のとき}}$

  与式に戻って, \[S=1+2+3+\cdots+n=\underline{\boldsymbol{\frac12n(n+1)}}\]

例2 $S=1+3x+5x^2+\cdots +(2n-1)x^{n-1}$

 $1,3,5,\cdots , 2n-1\ \to$ 初項1,公差2に等差数列
 $1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}\ \to$ 初項1,公比 $x$ の等比数列

\[\begin{array}{rlrl} S\!\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+3x\!\!\!\!\!&+5x^2+\cdots+(2n-1)x^{n-1}\\[5pt] -)\ \ xS\!\!\!\!&=\!\!\!\!\!&x\!\!\!\!\!&+3x^2+\cdots+(2n-3)x^{n-1}+(2n\!-\!1)x^n\\[5pt]\hline (1\!-\!x)S\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+2x\!\!\!\!\!&+2x^2+\cdots+\ \ \ \ \ 2x^{n-1}\ \ \ \ \ -(2n-1)x^n \end{array}\]

 $\underline{x\neq1 \mbox{のとき}}$

\[\begin{align*} S&=\frac1{1-x}\left\{1+\frac{2x(1-x^{n-1})}{1-x}-(2n-1)x^n\right\}\\[5pt] &=\cdots=\underline{\boldsymbol{\frac{(2n-1)x^{n+1}-(2n+1)x^n+x+1}{(1-x)^2}}} \end{align*}\]

 $\underline{x=1 \mbox{のとき}}$

  与式に戻って, \[S=1+3+5+\cdots+(2n-1)=\underline{\boldsymbol{n^2}}\]


高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和         【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.