7. (等差)×(等比)の和(ノート)
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高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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7. (等差)×(等比)の和

 7.1 (等差)×(等比)の和の求め方

例1　$S=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$

　　$1,2,3,\cdots ,n\ \to$ 初項1，公差1の等差数列
　　$1,x,x^2,\cdots ,x^{n-1}\ \to$ 初項1，公比 $x$ の等比数列

ポイント 　(等差)✕(等比)の和の求め方
　　等比数列の公比を $r$ とすると， \[rS\ \mbox{を作る}\ \to\ S-rS\]

\[\begin{array}{rlrl} S\!\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+2x\!\!\!\!\!&+3x^2+\cdots+\ \ \ nx^{n-1}\\[5pt] -)\ \ xS\!\!\!\!&=\!\!\!\!\!&x\!\!\!\!\!&+2x^2+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n\\[5pt]\hline (1-x)S\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+x\!\!\!\!\!&+\ \ x^2+\cdots+\ \ \ \ \ x^{n-1}\ \ \ \ \ -nx^n \end{array}\]

　$\underline{x\neq1 \mbox{のとき}}$

\[\begin{align*} S&=\frac1{1-x}\left(\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n\right)\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}}} \end{align*}\]

　$\underline{x=1 \mbox{のとき}}$

　　与式に戻って， \[S=1+2+3+\cdots+n=\underline{\boldsymbol{\frac12n(n+1)}}\]

例2　$S=1+3x+5x^2+\cdots +(2n-1)x^{n-1}$

　$1,3,5,\cdots , 2n-1\ \to$ 初項1，公差2に等差数列
　$1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}\ \to$ 初項1，公比 $x$ の等比数列

\[\begin{array}{rlrl} S\!\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+3x\!\!\!\!\!&+5x^2+\cdots+(2n-1)x^{n-1}\\[5pt] -)\ \ xS\!\!\!\!&=\!\!\!\!\!&x\!\!\!\!\!&+3x^2+\cdots+(2n-3)x^{n-1}+(2n\!-\!1)x^n\\[5pt]\hline (1\!-\!x)S\!\!\!\!&=1\!\!\!\!\!&+2x\!\!\!\!\!&+2x^2+\cdots+\ \ \ \ \ 2x^{n-1}\ \ \ \ \ -(2n-1)x^n \end{array}\]

　$\underline{x\neq1 \mbox{のとき}}$

\[\begin{align*} S&=\frac1{1-x}\left\{1+\frac{2x(1-x^{n-1})}{1-x}-(2n-1)x^n\right\}\\[5pt] &=\cdots=\underline{\boldsymbol{\frac{(2n-1)x^{n+1}-(2n+1)x^n+x+1}{(1-x)^2}}} \end{align*}\]

　$\underline{x=1 \mbox{のとき}}$

　　与式に戻って， \[S=1+3+5+\cdots+(2n-1)=\underline{\boldsymbol{n^2}}\]

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