このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和         【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

11. 隣接3項間漸化式

11.1 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$

 $\boldsymbol{a_{n+2}+p\,a_{n+1}+q\,a_n=0}$
  → $a_n=A\,\alpha^{n-1}+B\,\beta^{n-1}$ の形になる.

例題 $a_1=1,\ a_2=5,\ a_{n+2}-7a_n+12a_n=0$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

 漸化式を変形して, \[a_{n+1}-\alpha\,a_{n+1}=\beta\,(a_{n+1}-\alpha\, a_n)\ \cdots\mbox{①}\] と書けたとしよう. この式を整理して, \[a_{n+2}-(\alpha+\beta)\,a_{n+1}+\alpha\beta\, a_n=0\ \cdots\mbox{②}\]  ①と比較すると, \[\alpha+\beta=7,\ \ \ \alpha\beta=12\] であり,この2式を満たす2数 $\alpha,\ \beta$ は,2次方程式

\[x^2-7x+12=0\ \ \cdots(*)\]

の2解であるから,$\alpha$ と $\beta$ は 3 と 4.

$\underline{1^\circ\ \ \alpha=3,\ \beta=4\ \mbox{のとき}}$

 ②より \[a_{n+2}-3\,a_{n+1}=4\,(a_{n+1}-3\,a_n)\]  $b_n=a_{n+1}-3\,a_n$ とおくと, \[b_{n+1}=4\,b_n\ \gets \mbox{等比数列型}\]  数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=a_2-3\,a_1=5-3\cdot1=2$,公比4の等比数列であるから, \[b_n=2\cdot4^{n-1}\]  $b_n$ を元に戻して \[a_{n+1}-3\,a_n=2\cdot4^{n-1}\ \cdots\mbox{③}\]

$\underline{2^\circ\ \ \alpha=4,\ \beta=3\ \mbox{のとき}}$

 ②より \[a_{n+2}-4\,a_{n+1}=3(a_{n+1}-4\,a_n)\]  $c_n=a_{n+1}-4\,a_n$ とおくと, \[c_{n+1}=3\,c_n\ \gets \mbox{等比数列型}\]  数列 $\{c_n\}$ は初項 $c_1=a_2-4\,a_1=5-4\cdot1=1$,公比3の等比数列であるから, \[c_n=3^{n-1}\]  $c_n$ を元に戻して \[a_{n+1}-4\,a_n=3^{n-1}\ \cdots\mbox{④}\]

 ③$-$④より \[\underline{\boldsymbol{a_n=2\cdot4^{n-1}-3^{n-1}}}\]

補足

 上の $(*)$ の方程式を,(隣接3項間)漸化式の特性方程式という.

11.2 特性方程式が解1をもつ場合

 特性方程式の解の1つが1であると,別の方法でも一般項を求めることができる.

例題 $a_1=1,\ a_2=5,\ a_{n+2}-4\,a_{n+1}+3\,a_n=0$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

(下準備)
 特性方程式より, \[\alpha^2-4\alpha+3=0\ \therefore \alpha=1,\ 3\] (下準備ここまで)

解法その1

 漸化式を変形して, \[a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n)\]  よって数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ は初項 $a_2-a_1=4$,公比3の等比数列であるから, \[a_{n+1}-a_n=4\cdot3^{n-1}\ \gets\mbox{階差数列型}\]  よって,$n\geqq2$ のとき, \[\begin{align*} a_n&=1+\sum_{k=1}^{n-1}4\cdot3^{k-1}\\[5pt] &=1+4\cdot\frac{3^{n-1}-1}{3-1}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{2\cdot3^{n-1}-1}}\\[5pt] \end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい.)

解法その2

 漸化式を変形して, \[a_{n+2}-3\,a_{n+1}=a_{n+1}-3\,a_n\]  よって, \[\begin{align*} a_{n+1}-3\,a_n&=a_n-3\,a_{n-1}\\[5pt] &=\cdots\\[5pt] &=a_2-3\,a_1\\[5pt] &=5-3\cdot1=2 \end{align*}\] となるから, \[a_{n+1}=3\,a_n+2\] (これ以降は隣接2項間前回式の問題として処理)

11.3 特性方程式が重解をもつ場合

 特性方程式の解が重解のとき,変形して得られる式は1本となるが,隣接2項間漸化式に帰着させて一般項を導くことができる.

例題 $a_1=1,\ a_2=5,\ a_{n+2}-4\,a_{n+1}+4\,a_n=0$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

(下準備)
 特性方程式より, \[\alpha^2-4\alpha+4=0\ \therefore \alpha=2\ (\mbox{重解})\] (下準備ここまで)

 漸化式を変形して, \[a_{n+2}-2\,a_{n+1}=2(a_{n+1}-\,2\,a_n)\]  よって,数列 $\{a_{n+1}-2\,a_n\}$ は,初項 $a_2-2\,a_1=5-2\cdot 1=3$,公比 2 の等比数列であるから, \[a_{n+1}-2\,a_n=3\cdot2^{n-1}\]  この両辺を $2^{n+1}$ で割ると, \[\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac 34\ \ \ (\gets\mbox{等差数列型})\]  よって,数列 $\left\{\dfrac{a_n}{2^n}\right\}$ は,初項 $\dfrac{a_1}2=\dfrac12$,公差 $\dfrac34$ の等差数列であるから, \[\begin{align*} \frac{a_n}{2^n}&=\frac12+(n-1)\cdot\frac34\\[5pt] &=\frac34n-\frac14 \end{align*}\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=(3n-1)2^{n-2}}}\]

11.4 3項間漸化式の発展的な考え方

 $a_{n+2}+p\,a_{n+1}+q\,a_n=0$ 型の一般項は,特性方程式の2解を $\alpha,\ \beta\ (\alpha\neq\beta)$ としたとき,

\[a_n=A\,\alpha^{n-1}+B\,\beta^{n-1}\]

の形になる.
 この事実を逆手に取って,次のように答案を作ることもできる:

例題 $a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$
  (フィボナッチの数列と呼ばれている.)

解答例

 $t^2=t+1\ (\cdots$①) の2解を $\alpha\left(=\dfrac{1+\sqrt5}2\right)$,$\beta\left(=\dfrac{1-\sqrt5}2\right)$ とし, \[b_n=A\,\alpha^{n-1}+B\,\beta^{n-1}\ \ \ \cdots\mbox{②}\] とおくと, \[\begin{align*} b_{n+2}&=A\,\alpha^{n+1}+B\,\beta^{n+1}\\[5pt] &=A\,\alpha^2\cdot\alpha^{n-1}+B\,\beta^2\beta^{n-1}\\[5pt] &=A(\alpha+1)\alpha^{n-1}+B(\beta+1)\beta^{n-1}\ \ \ (\because\mbox{①})\\[5pt] &=A(\alpha^n+\alpha^{n-1})+B(\beta^n+\beta^{n-1})\\[5pt] &=(A\,\alpha^n+B\,\beta^n)+(A\,\alpha^{n-1}+B\,\beta^{n-1})\\[5pt] &=b_{n+1}+b_n \end{align*}\] となり,$\{b_n\}$ は $\{a_n\}$ と同じ漸化式を満たす.(つまり数列の生成過程が同一である.)
 更に,$b_1=a_1(=1)$,$b_2=a_2(=1)$ ならば,すべての $n$ で $b_n=a_n$ が成り立つから,②より, \[\left\{\begin{array}{ll} (b_1=)A+B=1&\cdots\mbox{③}\\[5pt] (b_2=)A\,\alpha+B\,\beta=1&\cdots\mbox{④} \end{array}\right.\]  ④$-$③$\times\beta$ より, \[(\alpha-\beta)A=1-\beta\] \[\therefore A=\frac{1-\beta}{\alpha-\beta}=\frac{\frac{1+\sqrt5}2}{\sqrt5}=\frac{5+\sqrt5}{10}=\frac{\sqrt5}5\alpha\]  ③より,$B=1-A=\dfrac{5-\sqrt5}{10}=-\dfrac{\sqrt5}5\beta$.
 故に②より, \[b_n=\frac{\sqrt5}5(\alpha^n-\beta^n)\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=\frac{\sqrt5}5\left\{\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^2\right\}}}\]


高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和         【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)     【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.