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高校数学[総目次]

数学B 第2章 数列

  スライド ノート 問題
1. 等差数列 [無料]    
2. 等比数列 [無料]    
3. Σ(シグマ)と和の公式 [無料]    
4. 階差数列 [会員]    
5. 数列の和と一般項 [会員]    
6. 差をとってできる数列の応用 [会員]    
7. (等差)×(等比)の和 [会員]    
8. 群数列 [会員]   [会員]
9. 隣接2項間漸化式(その1) [会員]    
10. 隣接2項間漸化式(その2) [会員]    
11. 隣接3項間漸化式 [会員]    

9. 隣接2項間漸化式(その1)

9.1 漸化式とは

 数列の各項の間に成り立つ関係(方程式)を漸化式(ぜんかしき)という.

 $a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n-1$ $ (n=1,2,3,\cdots)$

\[\begin{align*} a_1&=2\\[5pt] a_2&=2a_1-1=3\\[5pt] a_3&=2a_2-1=5\\[5pt] a_4&=2a_3-1=9\\[5pt] &\vdots \end{align*}\]

    のような各項間の関係式を,(隣接2項間の)漸化式(ぜんかしき)という.これから様々なパターンの漸化式を扱っていく.いずれの場合も,与えられた漸化式から一般項を求めるというのが1つの目標となる.まず基本的な漸化式の形として次の3つのパターンを確認していく

漸化式の基本3パターン ① 階差数列型 $\bigl(a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)\bigr)$
 ② 等比数列型 $(a_{n+1}=ra_n)$
 ③ 一般型 $(a_{n+1}=pa_n+q)$

9.2 階差数列型 $\bigl(a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)\bigr)$

 $f(n)$ を $n$ の関数とする.$a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)$ で表された漸化式の左辺は,数列 $\{a_n\}$ の階差数列を表しており,右辺はその一般項が $n$ の式 $f(n)$ であることを表している.この $f(n)$ が定数である特別な場合と,そうでない一般の場合に分けて見ていこう.

[1] $f(n)=$ (定数)
     → $\{a_n\}$ は等差数列

 $f(n)=d$ (定数)とすると,漸化式は

\[a_{n+1}-a_n=d\]

となり,隣の項どうしの差が常に一定の $d$ であることを表している.これは数列 $\{a_n\}$ が公差 $d$ の等差数列であることを意味する.

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

こたえ

 漸化式を変形すると, $a_{n+1}-a_n=3$

 これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列である $\{a_{n+1}-a_n\}$ が常に定数3であることを表している.よって数列 $\{a_n\}$ は初項2で公差3の等差数列であるから

\[a_n=2+(n-1)\cdot3=\underline{\boldsymbol{3n-1}}\]

 次に,$f(n)$ が定数ではない一般のケースを見ていこう.

[2] $f(n)\neq$ (定数)
     → $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\ \ \ (n\geqq 2)$

 $f(n)$ が定数ではないとき,漸化式は

\[a_{n+1}-a_n=f(n)\]

となる.これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列の一般項が $f(n)$ であることを表している.階差数列の一般項がわかれば,元の数列の一般項は計算できるのであった.(4. 階差数列 参照).階差数列の和をとるときには「$n\geqq2$」の断り書きと,$n=1$ のチェックを忘れずに行う.

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+2n$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

こたえ

 漸化式を変形すると, $a_{n+1}-a_n=2n$

 これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列である $\{a_{n+1}-a_n\}$ の一般項が $2n$ であることを表している.

 よって,$n\geqq2$ のとき,
\[\begin{align*}
a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}2k\\[5pt]
&=2+2\times\frac12(n-1)n\\[5pt]
&=\underline{\boldsymbol{n^2-n+2}}
\end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい.)

9.3 等比数列型 $(a_{n+1}=ra_n)$

等比数列型の漸化式 $a_{n+1}=r\,a_n$ → $\{a_n\}$ は公比 $r$ の等比数列

 この漸化式は,次の項である $a_{n+1}$ が前の項である $a_n$ の常に $r$ 倍であることを表しているから,数列 $\{a_n\}$ は公比 $r$ の等比数列であることを意味する.

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=-3a_n$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

こたえ

 この漸化式から数列 $\{a_n\}$ は,次の項が前の項の常に$-3$ 倍 であることを表しているから,公比$-3$ の等比数列であることがわかる.
 よって $\underline{\boldsymbol{a_n=2\cdot(-3)^{n-1}}}$

9.4 一般型 $(a_{n+1}=pa_n+q)$

 このタイプの漸化式は突き詰めると次のような形となっている.

 $(a_{n+1}=pa_n+q)$
   → $a_n=Ap^{n-1}+B$ の形になる.

 この点については,次の節である10. 隣接3項間漸化式(その2) で詳細に説明する.まずは教科書で説明されている内容を詳しく見ていく.

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

 このタイプの漸化式は「上手い変形」を行って,等比数列型$(a_{n+1}=r\,a_n$)に帰着させるのが定石である.その「上手い変形」とは,定数 $c$ を用いて与えられた漸化式を

\[a_{n+1}-c=2(a_n-c)\]

というように表すことである.右辺のカッコの前の係数2は,与えられた漸化式の $a_n$ の係数である.一般には $a_{n+1}=pa_n+q$ の場合に $a_n$ の係数である $p$ がこれに相当する.何故この変形が「上手い変形」といえるのか.その理由は,数列 $\{a_n-c\}$ が公比 2 の等比数列であることを表しているからである.それではこのような都合の良い $c$ はどのように見つけることができるのだろうか.

 藪から棒だが,与えられた漸化式において,$a_{n+1}$ も $a_n$ も $c$ に置き換えた式を作って,与えられた漸化式から引いてみよう.

\[\begin{array}{rl} a_{n+1}\!\!\!\!&=2a_n+1\\[5pt] -)\ \ \ \ \ \ \boldsymbol{c}\!\!\!\!&\boldsymbol{=2c+1\ \cdots (\mbox{☆})}\\[5pt]\hline a_{n+1}-c\!\!\!\!&=2(a_n-c) \end{array}\]

 方程式 (☆) を解くと $c=-1$ であるから,これを引いた式に代入して

\[a_{n+1}+1=2(a_n+1)\]

 これで「上手い変形」ができた.この(☆)の方程式を,この漸化式の特性方程式という.

特性方程式の作り方 漸化式の $a_{n+1}$ も $a_n$ も $c$ に置き換える

\[\begin{align*} a_{n+1}&=pa_n+q\\[5pt] &\downarrow\\[5pt] c&=pc+q \end{align*}\]

 ここで,$a_n+1=b_n$ とおくと,

$b_{n+1}=2b_n$ (←等比数列型)

 よって,数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=a_1+1=3$,公比 $2$ の等比数列であるから, \[b_n=3\cdot2^{n-1}\]  $b_n$ を元に戻して, \[a_n+1=3\cdot2^{n-1}\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}\]

補足

 数列 $\{a_n\}$ の各項に1を加えて新しい数列 $\{b_n\}$ を作ってみると,

  $\{a_n\}=\{2,5,11,23,47,\cdots\}$
     ↓ +1
  $\{b_n\}=\{3,6,12,24,48,\cdots\}$
     初項3,公比2の等比数列
 このように,数列 $\{a_n\}$ 自体はよくわからないが,$\{a_n\}$ の各項に1を加えた数列 $\{b_n\}$ の方はわかり易い数列になっているという仕掛けである.

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