このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和        【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)      【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

9. 隣接2項間漸化式(その1)

9.1 漸化式とは

 $a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n-1$ $ (n=1,2,3,\cdots)$

\[\begin{align*} a_1&=2\\[5pt] a_2&=2a_1-1=3\\[5pt] a_3&=2a_2-1=5\\[5pt] a_4&=2a_3-1=9\\[5pt] &\vdots \end{align*}\]

    のような各項間の関係式を,(隣接2項間の)漸化式(ぜんかしき)という.

9.2 階差数列型 $\bigl(a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)\bigr)$

[1] $f(n)=$ (定数)
     → $\{a_n\}$ は等差数列

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

    漸化式を変形すると, \[a_{n+1}-a_n=3\]

階差が常に3 → 等差3の等差数列

\[a_n=2+(n-1)\cdot3=\underline{\boldsymbol{3n-1}}\]

[2] $f(n)\neq$ (定数)
     → $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\ \ \ (n\geqq 2)$

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+2n$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

    漸化式を変形すると, \[a_{n+1}-a_n=2n\]

階差の一般項が $\boldsymbol{2n}$

    よって,$n\geqq2$ のとき, \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}2k\\[5pt] &=2+2\times\frac12(n-1)n\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{n^2-n+2}} \end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい.)

9.3 等比数列型 $(a_{n+1}=ra_n)$

 $a_{n+1}=ra_n$
    → $\{a_n\}$ は等比数列

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=-3a_n$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

    次の項は常に$\boldsymbol{-3}$ 倍 → 公比$\boldsymbol{-3}$ の等比数列

     $\underline{\boldsymbol{a_n=2\cdot(-3)^{n-1}}}$

9.4 一般型 $(a_{n+1}=pa_n+q)$

 $(a_{n+1}=pa_n+q)$
   → $a_n=Ap^{n-1}+B$ の形になる.

例題 $a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1$ の一般項 $a_n$ を求めよ.

\[\begin{array}{rl} a_{n+1}\!\!\!\!&=2a_n+1\\[5pt] -)\ \ \ \ \ \ \boldsymbol{\alpha}\!\!\!\!&\boldsymbol{=2\alpha+1\ \cdots (\mbox{☆})}\\[5pt]\hline a_{n+1}-\alpha\!\!\!\!&=2(a_n-\alpha) \end{array}\]  $(*)$ より $\alpha=-1$ であるから, \[a_{n+1}+1=2(a_n+1)\]  ここで,$a_n+1=b_n$ とおくと, \[b_{n+1}=2b_n\]  よって,数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=a_1+1=3$,公比 $2$ の等比数列であるから, \[b_n=3\cdot2^{n-1}\]  $b_n$ を元に戻して, \[a_n+1=3\cdot2^{n-1}\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}\]

補足

  1. $\{a_n\}=\{2,5,11,23,47,\cdots\}$
         ↓ +1
    $\{b_n\}=\{3,6,12,24,48,\cdots\}$
       初項3,公比2の等比数列
     $\{a_n\}$ 自体はよくわからないが,$\{a_n\}$ の各項に1を加えた $\{b_n\}$ はわかり易い数列になっている.
  2. 漸化式の $a_{n+1},\ a_n$ を $\alpha$ に置き換えた (☆) の式を漸化式の特性方程式という.

高校数学ノート[総目次]

数学B 第2章 数列

スライド↓       ノート↓
1. 等差数列 無料        【ノート
2. 等比数列 無料        【ノート
3. Σ(シグマ)と和の公式 無料   【ノート
4. 階差数列            【ノート
5. 数列の和と一般項        【ノート
6. \(a_n\!=\!b_n\!-\!b_{n-1}\) 型の和       【ノート
7. (等差)×(等比)の和        【ノート
8. 群数列             【ノート
9. 隣接2項間漸化式(その1)      【ノート
10. 隣接2項間漸化式(その2)     【ノート
11. 隣接3項間漸化式         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.