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3. Σ(シグマ)と和の公式

3.1 和の公式

\begin{align*}&[1]\hspace{4mm} 1+2+3+\cdots+n=\frac12n(n+1)\\[5pt] &[2]\hspace{4mm} 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac16n(n+1)(2n+1)\\[5pt] &[3]\hspace{4mm} 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{\frac12n(n+1)\right\}^2\end{align*}

3.2 和の記号Σ

和の公式\begin{align*}&[1]\hspace{4mm} \sum_{k=1}^nc=nc\ \ (c\ \mbox{は定数})\\[5pt] &[2]\hspace{4mm}\sum_{k=1}^nk=\frac12n(n+1)\\[5pt] &[3]\hspace{4mm} \sum_{k=1}^n k^2=\frac16n(n+1)(2n+1)\\[5pt] &[4]\hspace{4mm} \sum_{k=1}^n k^3=\left\{\frac12n(n+1)\right\}^2\\[5pt] &[5]\ \ \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2\ \ (\mbox{奇数}n\,\mbox{個の和})\end{align*}

3.3 Σの性質

\begin{align*}&[1]\hspace{4mm} \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k\\[5pt] &[2]\hspace{4mm} \sum_{k=1}^nca_k=c\sum_{k=1}^na_k\ \ (c \mbox{は定数}) \end{align*}

注意