平面ベクトルの応用｜三角形の内部と2直線の交点(3通り)をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学B　第1章　ベクトル

	スライド	ノート	問題
1. ベクトルと有向線分
2. ベクトルの演算
3. ベクトルの成分
4. ベクトルの内積
5. 位置ベクトル
6. ベクトル方程式
7. 平面ベクトルの応用
8. 空間ベクトル
9. 空間ベクトルの成分
10. 空間ベクトルの内積
11. 空間の位置ベクトル
12. 空間ベクトルの応用
13. 空間のベクトル方程式

7．平面ベクトルの応用

　平行でなく，かつ $\overrightarrow{\mathstrut\rm 0}$ でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ を用いて\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\]によって定められる点Pは，実数 $s$ と $t$ を適当に定めることで平面上を自由に動くことができる．

　ここで，$s$ と $t$ に

\[s+t=1\]

という制限を加えると，点Pは，もはや平面上を自由に動き回ることができない．

　点Pが動くことのできる範囲は，直線AB上のみである．

　そして今，更に

$s\geqq 0$　かつ　$t\geqq0$

という制限を加えると，点Pの動ける範囲はどうなるであろうか．

7.1　線分上の点の存在範囲

点が線分上にあるための条件

　直線ABを表すベクトル方程式は，この直線上の点をPとして

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\]

と表されるのであった．

　このとき，$t$ が任意の実数をとることによって，点Pは直線AB上を自由に動き回ることができる．

　いま，$t$ の値を

\[0\leqq t\leqq1\]

の範囲に制限すると，どうなるであろうか？

　このアニメーションからわかるように，点Pの存在範囲は線分ABとなる．

　以上の考察から，

Pが線分AB上 $\iff 0\leqq t\leqq 1$

であることがわかる．

ここからは単なる式変形

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut p}$ とおく．

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a},\ \overrightarrow{\mathstrut b},\ \overrightarrow{\mathstrut p}$ で表して

\[\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\,(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})\ \ (0\leqq t\leqq 1)\]

　整理して

\[\overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (0\leqq t\leqq 1) \]

　ここで，$1-t=s\ (\iff s+t=1)$ とおくと，

\[\begin{align*}
& \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\hspace{6mm} (\underline{s+t=1,\ 0\leqq t\leqq1}_{\mbox{①}})\\[5pt]
\iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\hspace{6mm} (\underline{s+t=1,\ s\geqq0,\ t\geqq0}_{\mbox{②}})
\end{align*}\]

　これが，点Pが線分AB上にある条件である．

※　①と②は全く同じ条件を指しているが，この言い換えはグラフで考えると理解しやすい．詳しくはスライド 参照

点Pが線分AB上にあるための条件　点Pが $\overrightarrow{\rm{OP}}=s\,\overrightarrow{\rm{OA}}+t\,\overrightarrow{\rm{OB}}$ で表されるとき，Pが線分AB上にあるための条件は
\[s+t=1,\ \ s\geqq 0,\ \ t\geqq 0\]

補足

　同じことだが，次のように言うこともできる：

　何が言いたいかというと，点Pは線分AB上を漏れなく動くということである．

線分の両端を含まない場合

　点Pが線分AB上にあり，かつ線分の両端であるAとBを含まない場合は，上のアニメーションから $0<t<1$ となるから

$\overrightarrow{\rm{OP}}=s\,\overrightarrow{\rm{OA}}+t\,\overrightarrow{\rm{OB}},\ \ s+t=1,\ s> 0,\ t> 0$

となる．

7.2　三角形の内部を表すベクトル

まずは簡単な例から

例題　$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$，$s+t=2$，$s\geqq 0$，$t\geqq 0$ で表される点Pは，どのような図形か．

解説

　私たちが先に学習したのは係数の和が1，すなわち

\[s+t=1\]

の場合であって，$s+t=2$ の場合についてはまだ知識がない．

　しかし今，$s+t=2$ の両辺を2で割って

$\dfrac s2+\dfrac t2=1$

というようにしてみるとどうだろう．

　$\dfrac s2$ と $\dfrac t2$ の和が1で，しかも $s\geqq0$，$t\geqq0$ から $\dfrac s2\geqq0$，$\dfrac t2\geqq0$ である．

　この着想をもとに，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ の右辺を書き換えて

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\dfrac s2\cdot 2\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac t2\cdot 2\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\]

という具合に無理に $\dfrac s2$ や $\dfrac t2$ を作り出してみる．

　そして，$2\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OC}$，$2\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OD}$ とおくと

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\dfrac s2\cdot \overrightarrow{\mathstrut\rm OC}+\frac t2\cdot \overrightarrow{\mathstrut\rm OD}\]

となる．

　すると，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OC}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm OD}$ の係数は，和が１で，共に0以上となっている．

　このことから，前節の結論により，点Pは線分 $\rm CD$ 上にあることがわかる．

例題の答え　線分CD

次に線分上の点についての一般論

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$，$s+t=k$，$s\geqq 0$，$t\geqq 0$ によって表される点Pを考えよう．

　$k=0$ のときは，$s=t=0$ であるから，このとき $\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm 0}$，すなわちPはOと重なる．

　$k\neq0$ のときは，$s+t=k$ の両辺を $k$ で割ると，

\[\frac sk+\frac tk=1\]

となるから，

\[\begin{align*}
\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt]
&=\dfrac sk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac tk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}
\end{align*}\]

という具合に書き換える．

　すると

$s\geqq0$，$t\geqq0$　から　$\dfrac sk\geqq0$，$\dfrac tk\geqq0$

であるから，$k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OC}$，$k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OD}$ となる点 $\rm C,\ D$ をとると，

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\dfrac sk\cdot \overrightarrow{\mathstrut\rm OC}+\frac tk\cdot \overrightarrow{\mathstrut\rm OD}\]

と表される．

　従って，前節の結論により点Pは線分CD上にあることがわかる．

点が線分上にあるための条件　$\overrightarrow{\rm{OP}}=s\,\overrightarrow{\rm{OA}}+t\,\overrightarrow{\rm{OB}},\ \ s+t=k,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0$ によって表される点Pは，$k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OC}$，$k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OD}$ となる点 $\rm C,\ D$ をとると，線分CD上にある．

　先ほど 点Pが線分AB上にあるための条件 を確認したが，それはこの条件式の $k=1$ の特別な場合に過ぎない．

ではいよいよ点が三角形の周及び内部にあるための条件

例題　△OABに対して，点Pが\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB},\ s+t\leqq1,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0\]を満たしながら動くとき，点Pの存在範囲を求めよ．

こたえ

　$s+t=k$ とおく．

　$s+t\leqq1$，$s\geqq0$，$t\geqq0$ より $0\leqq k\leqq1$ である．

　今，この範囲にある $k$ を1つ固定する．
　(例えば $k=\dfrac23$ というように決めておく．)

　その決めた $k$ の値が0だった場合は，$s=t=0$ であるから，このとき $\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm 0}$，すなわちPはOと一致する．

　$k\neq0$ のときは，

\[k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OC},\ \ \ k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OD}\]

となる点 $\rm C,\ D$ をとると，点Pは線分CD上にある．

　ここで固定していた $k$ を $0\leqq k\leqq 1$ の範囲で動かすと，Pは△OABの周及び内部にあることがわかる．

答え　点Pの存在範囲は，△OABの周及び内部

補足

点が三角形の内部にあるための条件

　上の補足 で述べたように，点Pが線分AB上にあり，かつ線分の両端であるAとBを含まない場合は，

$\overrightarrow{\rm{OP}}=s\,\overrightarrow{\rm{OA}}+t\,\overrightarrow{\rm{OB}},\ \ s+t=1,\ s> 0,\ t> 0$

というように不等号の下の「＝」がなくなる．

　よって点が三角形の(周を除く)内部に存在するための条件は，三角形の「周及び内部」の場合での条件で，不等号の下の「＝」をすべてなくした次の条件になる：

例題　△OABにおいて，$\overrightarrow{\rm{OP}}=s\,\overrightarrow{\rm{OA}}+t\,\overrightarrow{\rm{OB}}\ (s+t\leqq\dfrac12,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0)$を満たす点Pは，どのような図形上にあるか．

答

　解答例を表示する

　$0<k\leqq\dfrac12$ なる $k$ を1つ固定し，$s+t=k$，$s\geqq 0$，$t\geqq 0$ で考える．
　$s+t=k$ の両辺を $k$ で割ると $\dfrac sk+\dfrac tk=1$ となるから，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ の右辺を書き換えて，

\[\begin{align*}
\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt]
&=\frac sk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac tk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt]
&=\dfrac sk\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}+\dfrac tk\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}\\[5pt]
&\left(\dfrac sk+\dfrac tk=1,\ \dfrac sk\geqq 0,\ \dfrac tk\geqq 0\right)
\end{align*}\]

　ただし，A$’$，B$’$ は $\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ を満たす点である．
　この結果により，Pは線分 $\rm A\,’B\,’$ 上を動くことがわかる．
　ここで，固定していた $k$ を $0 < k\leqq \dfrac12$ で動かし，また $k=0$ のとき，PはOと一致するから，Pの存在領域は，辺OA，OBの中点をそれぞれM，Nとすると，△OMNの周及び内部である．

7.3　2直線の交点を表すベクトル（3つの解法）

交点のベクトルを求める3つの方法

　次の例題は教科書に必ずといってよいほど登場しているものであるが，その解法については大抵1通りしか掲載されていない．次の「答その1」がそれだ．しかしこの問題には他にもいくつかの解法があり，加えて「答その1」よりも「答その2」が，「答その2」よりも「答その3」が，よりスピーディーに解ける方法となっている．

答その1

負担は大きいが共通テストでの誘導はこれ