空間ベクトルの応用と平面上の点の表し方をスライドでやさしく解説

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高校数学[総目次]

数学B　第1章　ベクトル

12.　空間ベクトルの応用

12.1　一直線上の3点

12.2　平面上の点

　空間内の一直線上にない3点A，B，Cが与えられると，それら3点を含む平面が存在し，かつそのような平面はただ1つである．この平面を平面ABCという．

　平面上の点Pについては次が重要：

　${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut{a}})$，${\rm B}(\overrightarrow{b})$，${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut{c}})$，${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut{p}})$ とすると，上の式は

$$\overrightarrow{\mathstrut{p}}-\overrightarrow{\mathstrut{a}}=s(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{\mathstrut{a}})+t(\overrightarrow{\mathstrut{c}}-\overrightarrow{\mathstrut{a}})$$

$$\therefore \overrightarrow{\mathstrut{p}}=(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}$$

　ここで，$1-s-t=r$ とおくと，

$$\overrightarrow{\mathstrut{p}}=r\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ \ (r+s+t=1)$$

　$\overrightarrow{\mathstrut{p}}$ がこのように表されるとき，この表し方はただ1通りであり，次が成立：

例題　図のような直方体において，DEの延長上に DE$=$EF となる点Fをとる．直線OFと平面ABCの交点をPとするとき，$\overrightarrow{\rm OP}$ を $\overrightarrow{\rm OA}$，$\overrightarrow{\rm OB}$，$\overrightarrow{\rm OC}$ で表せ．

答

$$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{OF}}}&=\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{BD}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DF}}}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}+2\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}} \end{align*}$$

　従って，

$$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{OP}}}&=k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OF}}}\\[5pt] &=k\left(\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}+2\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}\right)\\[5pt] &=2k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}+k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}\\[5pt] \end{align*}$$

　点Pは平面ABC上にあるから，

$$2k+k+k=1\ \ \therefore k=\frac14$$

　よって，

$$\underline{\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OP}}}=\frac12\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}}}$$

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