3. ベクトルの成分【ノート】
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高校数学[総目次]

数学B　第1章　ベクトル

	スライド	ノート	問題
1. ベクトルと有向線分
2. ベクトルの演算
3. ベクトルの成分
4. ベクトルの内積
5. 位置ベクトル
6. ベクトル方程式
7. 平面ベクトルの応用
8. 空間ベクトル
9. 空間ベクトルの成分
10. 空間ベクトルの内積
11. 空間の位置ベクトル
12. 空間ベクトルの応用
13. 空間のベクトル方程式

3. ベクトルの成分

3.1　ベクトルの成分表示

アイデア

　座標平面に有向線分(矢印)を配置する．

1. 座標平面上の原点を始点とするベクトルで，終点が点$(1,0)$ の $\overrightarrow{\mathstrut e_1}$ と，点$(0,1)$ の $\overrightarrow{\mathstrut e_2}$ の2つを用意．
2. 有向線分の始点が原点にくるよう平行移動．
3. 終点の座標を $(a_1,a_2)$ とすれば， $$\overrightarrow{\mathstrut a}=a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}$$

　つまり，常に始点を原点にとれば，

ベクトル　←1対1対応→　終点の座標

　そこで， $$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$$ で表し，ベクトルの成分表示という．

　成分表示されたベクトルに対して，相等と大きさは次のようになる：

ベクトルの成分表示 　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2)$ のとき， $$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut b}\iff a_1=b_1\ \mbox{かつ} \ a_2=b_2$$ $$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$$

補足

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(k\,a_1,k\,a_2)$ のとき，

$$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=|k|\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$$

注意

　成分表示における等号「$=$」は必ず．
　$\overrightarrow{\mathstrut a}(a_1,a_2)$ といった点の座標のようには書かない．

3.2　成分表示の和，差，実数倍

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(2,1)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(1,3)$，$\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}$ を $\overrightarrow{\mathstrut c}$ とおくと，図より $$\overrightarrow{\mathstrut c}=(3,4)$$ 一方， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut c}&=\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] &=(2,1)+(1,3) \end{align*}$$ であるから， $$(2,1)+(1,3)=(2+1,1+3)$$ が成り立つ．
　また，$2\overrightarrow{\mathstrut a}$ を $\overrightarrow{\mathstrut d}$ とおくと，図より $$\overrightarrow{\mathstrut d}=(4,2)$$ 　一方， $$\overrightarrow{\mathstrut d}=2\overrightarrow{\mathstrut a}=2(2,1)$$ であるから， $$2(2,1)=(2\cdot2,2\cdot1)$$ が成り立つ．

　一般に次が成り立つ：

成分表示の和，差，実数倍 $$\begin{align*} &[1]\ \ (a_1,\ a_2)+(b_1,\ b_2)=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)\\ &[2]\ \ k\,(a_1,\ a_2)=(k\,a_1,\ k\,a_2)\ \ (k\mbox{ は実数}) \end{align*}$$

証明

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2)$ は，$\overrightarrow{\mathstrut e_1}=(1,0)$，$\overrightarrow{\mathstrut e_2}=(0,1)$ を用いて， $$\begin{align*} &\overrightarrow{\mathstrut a}=a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &\overrightarrow{\mathstrut b}=b_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+b_2\overrightarrow{\mathstrut e_2} \end{align*}$$ と表されるから， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}&=(a_1+b_1)\overrightarrow{\mathstrut e_1}+(a_2+b_2)\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)\\[5pt] \overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}&=(a_1-b_1)\overrightarrow{\mathstrut e_1}+(a_2-b_2)\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(a_1-b_1,\ a_2-b_2)\\[5pt] k\overrightarrow{\mathstrut a}&=k\,a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+k\,a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(k\,a_1,\ k\,a_2) \end{align*}$$

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