5. 位置ベクトル【ノート】
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高校数学[総目次]

数学B　第1章　ベクトル

	スライド	ノート	問題
1. ベクトルと有向線分
2. ベクトルの演算
3. ベクトルの成分
4. ベクトルの内積
5. 位置ベクトル
6. ベクトル方程式
7. 平面ベクトルの応用
8. 空間ベクトル
9. 空間ベクトルの成分
10. 空間ベクトルの内積
11. 空間の位置ベクトル
12. 空間ベクトルの応用
13. 空間のベクトル方程式

5.　位置ベクトル

5.1　位置ベクトルとは？

　平面上で1点Oを固定する．平面上の任意の点Pの位置は， $$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}$$ というベクトルで決まる．
　このとき，$\overrightarrow{\mathstrut p}$ を点Oに関するPの位置ベクトルといい，位置ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut p}$ である点Pを ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ で表す．

例

5.2　分点の位置ベクトル

内分点

　線分ABを $m:n$ に内分する点Pの位置ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac m{m+n}\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac m{m+n}(\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut\rm OA})\\[5pt] &=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+m\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}}{m+n} \end{align*}$$ $$\therefore \overrightarrow{\mathstrut p}=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}$$

外分点

　線分ABを $m:n$ に外分する点Qの位置ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut q}$ とする．

$\boldsymbol{m>n}$ のとき

　Bは線分AQを $(m-n):n$ に内分する点だから， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut b}&=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+(m-n)\overrightarrow{\mathstrut q}}{(m-n)+n}\\[5pt] &=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+(m-n)\overrightarrow{\mathstrut q}}m \end{align*}$$ 　これを $\overrightarrow{\mathstrut q}$ について解くと， $$\overrightarrow{\mathstrut q}=\frac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}$$ 　$m< n$ のときも同様に計算すると，上と同じ式になることが示される．

内分点，外分点の位置ベクトル　2点$\rm{A}(\overrightarrow{a}),\ \rm{B}(\overrightarrow{b})$について，線分ABを $$\begin{align*} &m:n\mbox{に内分する点P}(\overrightarrow{p}):\hspace{4mm}\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\\[5pt] &m:n\mbox{に外分する点Q}(\overrightarrow{q}):\hspace{4mm}\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\end{align*}$$ 　特に，線分ABの中点Mの位置ベクトル$\overrightarrow{m}$は $$\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}2$$

例題　△ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{g}$ を求めよ．

答

　辺BCの中点を ${\rm M}(\overrightarrow{\mathstrut m})$ とすると， $$\overrightarrow{\mathstrut m}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}2$$ 　Gは線分AMを $2:1$ に内分する点だから， $$\overrightarrow{\mathstrut g}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut m}}{2+1}=\underline{\boldsymbol{\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}3}}$$

三角形の重心の位置ベクトル　3点${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a}),\ {\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b}),\ {\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$について，△ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{g}$ は $$\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}3$$

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2. ベクトルの演算
3. ベクトルの成分
4. ベクトルの内積
5. 位置ベクトル
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7. 平面ベクトルの応用
8. 空間ベクトル
9. 空間ベクトルの成分
10. 空間ベクトルの内積
11. 空間の位置ベクトル
12. 空間ベクトルの応用
13. 空間のベクトル方程式