8. 空間ベクトル【ノート】
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高校数学[総目次]

数学B　第1章　ベクトル

	スライド	ノート	問題
1. ベクトルと有向線分
2. ベクトルの演算
3. ベクトルの成分
4. ベクトルの内積
5. 位置ベクトル
6. ベクトル方程式
7. 平面ベクトルの応用
8. 空間ベクトル
9. 空間ベクトルの成分
10. 空間ベクトルの内積
11. 空間の位置ベクトル
12. 空間ベクトルの応用
13. 空間のベクトル方程式

8.　空間ベクトル

8.1　空間ベクトルとは

　向きと大きさだけを考え，位置を問題にしない空間内の量を空間ベクトルという．
　空間ベクトルの和，差，実数倍は，平面ベクトルと全く同様に計算できる．

空間ベクトルの演算 $$\begin{align*} &[1]\ \ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\ (\mbox{交換法則})\\[5pt] &[2]\ \ (\overrightarrow{a}\!+\!\overrightarrow{b})\!+\!\overrightarrow{c}\!=\!\overrightarrow{a}\!+\!(\overrightarrow{b}\!+\!\overrightarrow{c})\ (\mbox{結合法則})\\[5pt] &[3]\ \ \overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\\[5pt] &\hspace{7mm}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\\ &\hspace{7mm}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\\[5pt] &[4]\ \ k,l\mbox{を実数として，}\\[5pt] &\hspace{8mm}k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\\[5pt] &\hspace{8mm}(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\\[5pt] &\hspace{8mm}k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \end{align*}$$

空間ベクトルの平行$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$のとき， $$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\iff\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\mbox{となる実数}k\mbox{が存在}$$

8.2　ベクトルの分解

　4点O，A，B，Cは同一平面上にはないとし，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$ とする．
　いま，空間内の任意の点 ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ に対して，$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}$ に応じた平行六面体が一意に定まり，実数 $r,s,t$ を用いて

$$\overrightarrow{\mathstrut p}=r\overrightarrow{\mathstrut a}+s\overrightarrow{\mathstrut b}+t\overrightarrow{\mathstrut c}$$

と書ける．これは，$\overrightarrow{\mathstrut p}$ の $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$，$\overrightarrow{\mathstrut c}$ の3方向への分解を表している．

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数学B　第1章　ベクトル

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1. ベクトルと有向線分
2. ベクトルの演算
3. ベクトルの成分
4. ベクトルの内積
5. 位置ベクトル
6. ベクトル方程式
7. 平面ベクトルの応用
8. 空間ベクトル
9. 空間ベクトルの成分
10. 空間ベクトルの内積
11. 空間の位置ベクトル
12. 空間ベクトルの応用
13. 空間のベクトル方程式