階差数列の基本と一般項を求める公式をスライドでやさしく学ぶ

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数学B　第2章　数列

	スライド	ノート	問題
1. 等差数列
2. 等比数列
3. Σ(シグマ)と和の公式
4. 階差数列
5. 数列の和と一般項
6. 差をとってできる数列の応用
7. (等差)×(等比)の和
8. 群数列
9. 隣接2項間漸化式(その1)
10. 隣接2項間漸化式(その2)
11. 隣接3項間漸化式

4. 階差数列

4.1　階差数列とは

　数列の差をとって得られる数列を，元の数列の階差数列という．

例1　 $2, 3, 5, 8, 12$
　差をとると， $1, 2, 3, 4$
　　→　階差数列は初項1，公差1の等差数列

例2　 $2, 5, 11, 23, 47$
　差をとると， $3, 6, 12, 24$
　　→　階差数列は初項3，公比2の等比数列

例3　 $2, 10, 30, 68, 130, 222$
　差をとると， $8, 20, 38, 62, 92$
　もう一度差をとると， $12, 18, 24, 30$
　　→　第2階差数列は初項12，公比6の等差数列

補足

　例3のように，複数回にわたって差をとるとき，差をとった順に「第1階差数列，第2階差数列， $\dots$ 」という．

4.2　階差数列と一般項

階差数列から元の数列の一般項を求める方法～まずは例

　例として次の数列 ${a_{n}}$ を考えよう．

$1, 2, 5, 10, 17, 26, \dots$

　この数列は差が一定でないから等差数列ではない．また隣りどうしの比も一定ではないから等比数列でもない．従ってこの数列の一般項を直ちに求めることは難しい．ところがこの数列の階差数列をとってみると，

$1, 3, 5, 7, 9, \dots$

といった具合に初項1，公差2の等差数列となっており，大変なじみやすいものとなっている．この階差数列を ${b_{n}}$ とおくと，一般項は $b_{n} = 2 n - 1$ であり，

$\sum_{k = 1}^{n} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = n^{2}$

というように第 $n$ 項までの和も簡単に計算できる．実は階差数列の和が求まれば，得体の知れぬ元の数列の一般項も求めることができる．その考え方を次に示す．

　例えば $a_{4} = 10$ を考えてみよう．

　 $a_{4} - a_{3} = b_{3}$ である．

　同様にして，

$\begin{aligned} a_{4} - a_{3} & = b_{3} \\ a_{3} - a_{2} & = b_{2} \\ a_{2} - a_{1} & = b_{1} \end{aligned}$

　　これらを辺々加えると，左辺は途中で $a_{3}$ と $a_{2}$ がキャンセルされて

　よって　 $a_{4} = a_{1} + (b_{1} + b_{2} + b_{3})$

　つまり $a_{4}$ は， $a_{1}$ に階差数列 ${b_{n}}$ の初項から第3項までの和として求めることができる．これは他の項についても同様である．よって第 $n$ 項の $a_{n}$ は， $b ≧ 2$ のとき

$a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k} = 1 + (n - 1)^{2} = n^{2} - 2 n + 2$

　これは $n = 1$ のときも成り立つ．従って数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めることができた．

階差数列から元の数列の一般項を求める方法～次に一般論

　上の例のような考え方を用いると，一般の場合は次のようになる：

$\begin{aligned} a_{n} - a_{n - 1} & = b_{n - 1} \\ a_{n - 1} - a_{n - 2} & = b_{n - 2} \\ a_{n - 2} - a_{n - 3} & = b_{n - 3} \\ ⋮ \\ a_{3} - a_{2} & = b_{2} \\ a_{2} - a_{1} & = b_{1} \end{aligned}$

　これらの式を辺々加えると，左辺の $a_{n - 1}, n_{n - 2}, \dots, a_{2}$ が次々とキャンセルされて，左辺は $a_{n}$ と $a_{1}$ だけが残り，右辺は $b_{1}$ から $b_{n - 1}$ までの $n - 1$ 項の和となる：

$∴ a_{n} = a_{1} + (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n - 1})$

　よって第 $n$ 項の $a_{n}$ は， $b ≧ 2$ のとき

$a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$

となる．

　数列 ${a_{n}}$ の初項を $a$ ，階差数列を ${b_{n}}$ とすると， $n ≧ 2$ のとき， $a_{n} = a + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$

補足

$n ≧ 2$ の制限について

　一般項を求める式の前に「 $n ≧ 2$ のとき」という条件が付されているが，この点について説明しておく．

①　 $n = 1$ のとき， $a_{1} = a + \sum_{k = 1}^{0} b_{k}$ となって， $\sum$ が意味をなさない．

②　 $a_{1}$ の場合が含まれてしまうことがほとんどであるが，もちろんそうでない場合もある．例えば， $2, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \leftarrow {a_{n}}$ という数列の階差数列は $0, 1, 1, 1, 1, \dots \leftarrow {b_{n}}$ となるから， $n ≧ 2$ のとき， $\begin{aligned} a_{n} & = 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k} \\ = 2 + (n - 2) \\ = n \end{aligned}$ となる．これは $n = 1$ のときを正しく表していない．
　故に， $\underset{―}{a_{1} = 2, a_{n} = n (n ≧ 2)}$ となる．
　因みに数列 ${a_{n}}$ は，場合分けせずに $a_{n} = | n - \frac{3}{2} | + \frac{3}{2}$ と書くこともできる．

例題　 $2, 5, 11, 23, 47, \dots$ で表される数列の一般項を求めよ．

こたえ

　解答例を表示する

　この数列を ${a_{n}}$ ，階差数列を ${b_{n}}$ とする．階差数列 ${b_{n}}$ は次のようになっている： $3, 6, 12, 24, \dots$ 　これは初項3，公比2の等比数列であるから， $b_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ ．
　よって $n ≧ 2$ のとき， $\begin{aligned} a_{n} & = 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} (3 \cdot 2^{k - 1}) \\ = 2 + \frac{3 (2^{n - 1} - 1)}{2 - 1} \\ = 3 \cdot 2^{n - 1} - 1 \end{aligned}$ 　これは $n = 1$ のときも成り立つ．
　故に， $\underset{―}{a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - 1}$

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4. 階差数列
5. 数列の和と一般項
6. 差をとってできる数列の応用
7. (等差)×(等比)の和
8. 群数列
9. 隣接2項間漸化式(その1)
10. 隣接2項間漸化式(その2)
11. 隣接3項間漸化式