(数学Ⅱ)-1/6公式や偶関数・奇関数の定積分をスライドで学ぶ

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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第6章　微分法・積分法

9.　様々な定積分

9.1　重要な定積分

この節には，一部数学Ⅲの内容が含まれます．

積分計算を大幅に省力化

　例えば $\displaystyle{\int_1^3(x^2-4x+3)}dx$ を考えると

と計算できるが，これが $-\dfrac{2^3}6=-\dfrac86=-\dfrac43$ として計算できるとしたらどうだろう．これが事実なら上の計算は最早暗算レベルとなってしまう．

　この計算は次の積分公式によっていたのであるが，のちに面積を積分で計算する際に大活躍する．この公式が使える場面で，公式を使う，使わないでは計算の負担が雲泥の差となる．

重要な定積分\[\int_\alpha^\beta\!\!(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac16(\beta-\alpha)^3\]

証明

\[\begin{align*}
&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[5pt]
=&\int_\alpha^\beta (x-\alpha)\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\}\,dx\\[5pt]
=&\int_\alpha^\beta \left\{(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha)\right\}\,dx\\[5pt]
=&\left[\frac{(x-\alpha)^3}3-(\beta-\alpha)\cdot\frac{(x-\alpha)^2}2\right]_\alpha^\beta\ \ (\cdots\mbox{☆})\\[5pt]
=&\frac{(\beta-\alpha)^3}3-\frac{(\beta-\alpha)^3}2\\[5pt]
=&-\frac16(\beta-\alpha)^3
\end{align*}\]

■

注意

　(☆) のところで，数学Ⅲ 2．置換積分法(不定積分)に出てくる積分の公式

\[\int(x+a)^n\,dx=\frac1{n+1}(x+a)^{n+1}+C\]

を利用した．(ただし $C$ は積分定数)
　この公式は数学Ⅱの範囲でも使える場面が案外多く，数学Ⅲを学ばない場合でも暗記しておきたい．特に難関大入試では，文系でもこの公式を使わなければとても時間内かつ正確に計算することが難しいと思える問題が存在する．

補足

① 公式が使える場面

　2次関数 $f(x)$ が，

1. $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解でき，
2. しかも $\alpha$ と $\beta$ が積分区間の両端にくるときに，

$f(x)$ の $\alpha$ から $\beta$ までの定積分を

\[\int_\alpha^\beta f(x)\,dx=-\frac16(\beta-\alpha)^3\] として計算できるのである．

② $\boldsymbol{\beta-\alpha}$ の計算方法

　$\beta-\alpha$ は解と係数の関係により， \[|\beta-\alpha|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\] から計算するとラクな場合もある．

③ 答案で公式を使う際のマナー

　例えば $\displaystyle{\int_0^1 (x^2-x)dx}$ を計算するとき，

\[\int_0^1 (x^2-x)dx=-\dfrac{(1-0)^3}6\]

といきなり書くのではなく，

\[\int_0^1 (x^2-x)dx=\underline{\int_0^1 x(x-1)dx}=-\dfrac{(1-0)^3}6\]

というように，被積分関数を因数分解して，積分区間の両端である0と1がはっきりと見える形にしてから公式を使うこと．これは公式が適用できる根拠を示すという意味で大切である．一般には

\[\begin{align*} \int_\alpha^\beta f(x)\,dx&=\underline{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx}\\[5pt] &=-\frac16(\beta-\alpha)^3 \end{align*}\] と因数分解した　　の形，即ち公式の左辺の形を書いておくということである．

例題1　定積分 $\displaystyle \int_{-1}^2(x^2-x-2)\,dx$ を求めよ．

例題2　定積分 $\displaystyle \int_\alpha^\beta (2x^2-6x+1)\,dx$ を求めよ．

9.2　奇関数と偶関数の定積分

　奇関数と偶関数の定積分は数学Ⅲの内容であるが，結果だけでも知っておくと，計算を大幅に省力化できる．

　奇関数・偶関数という用語が登場するのはここが初めてではなく，三角関数 のところで既に学習済みである．

奇関数とは

まずは具体例から

　例として関数 $f(x)=x^3$ について， $x$ のいくつかの値に対する $f(x)$ の値を計算すると次のようになる．