高校数学[総目次]

数学B　第1章　数列

  スライド ノート 問題
1. 等差数列      
2. 等比数列      
3. Σ(シグマ)と和の公式      
4. 階差数列      
5. 数列の和と一般項      
6. 差をとってできる数列の応用      
7. (等差)×(等比)の和      
8. 群数列      
9. 隣接2項間漸化式(その1)      
10. 隣接2項間漸化式(その2)      
11. 隣接3項間漸化式      

演習問題

問題１【発展】
　$k$ を自然数， $0<\alpha<1$ とする．表が出る確率が $\alpha$，裏の出る確率が $1-\alpha$ のコインを投げて，最初，数直線の原点にあった点Pの位置を，表が出たら2だけ，裏が出たら1だけ右に進める．以降，移動した位置でコインを投げてこの操作を繰り返す．$n$ を自然数として，コインを $n$ 回投げるとき，1回目から $n$ 回目までのどこかで点Pの座標が $n$ となる確率を $p_n$ とおく．
(1)　$p_1,\ p_2$ を求めよ．
(2)　$n\geqq1$ に対して，$p_n$ を $n$ と $\alpha$ で表せ．

(大阪市立大・改題)

問題１【発展】

　$k$ を自然数， $0<\alpha<1$ とする．表が出る確率が $\alpha$，裏の出る確率が $1-\alpha$ のコインを投げて，最初，数直線の原点にあった点Pの位置を，表が出たら2だけ，裏が出たら1だけ右に進める．以降，移動した位置でコインを投げてこの操作を繰り返す．$n$ を自然数として，コインを $n$ 回投げるとき，1回目から $n$ 回目までのどこかで点Pの座標が $n$ となる確率を $p_n$ とおく．
(1)　$p_1,\ p_2$ を求めよ．
(2)　$n\geqq1$ に対して，$p_n$ を $n$ と $\alpha$ で表せ．

(大阪市立大・改題)

　大阪市立大(2021)の問題です．
　漸化式の基本的な考え方は

最初か最後で場合分け

です．この問題では最初で場合分けするのが良いでしょう．また本問では $p_n$ の定義にも注意しましょう．「コインを $n$ 回投げるとき，1回目から $n$ 回目までのどこかで点Pの座標が $n$ となる確率」が $p_n$ です．

解答