等比数列の一般項と和の公式

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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1. 等差数列
2. 等比数列
3. Σ(シグマ)と和の公式
4. 階差数列
5. 数列の和と一般項
6. 差をとってできる数列の応用
7. (等差)×(等比)の和
8. 群数列
9. 隣接2項間漸化式(その1)
10. 隣接2項間漸化式(その2)
11. 隣接3項間漸化式

2. 等比数列

　前節の等差数列に引き続いて，等比数列と呼ばれる数列を学習する．高校数学の数列という分野において，この等差数列と等比数列が，最も基本的で重要な数列である．

2.1　等比数列とは

　ある数に一定の数を次々と掛けていくことで得られる数列を等比数列という．あるいは読んで字の如く隣りどうしの「比が等しい数列」といってもよい．

等比数列とはある数に一定の数を次々と掛けていくことで得られる数列

例えば

2, 6, 18, 54, 162

という数列は，2に次々と3を掛けていくことで得られる等比数列の初項から第5項である．このとき，次々と掛けていく一定の数3をこの等比数列の公比(こうひ)という．また，となりどうしの比は常に $1:3$ になっている．従ってこの数列を指して「初項2，公比3の等比数列」という言い方をする．

2.2　等比数列の一般項

　先に示した等比数列 2, 6, 18, 54, 162 の $n$ 番目の項は，$n$ を用いてどのように表されるだろうか．この数列を $\{a_n\}$ とすると

\[\begin{align*}
a_1&=2\\[5pt]
a_2&=a_1\times3=2\times3(=6)\\[5pt]
a_3&=a_2\times3=2\times3^2(=18)\\[5pt]
a_4&=a_3\times3=2\times3^3(=54)\\[5pt]
a_5&=a_4\times3=2\times3^4(=162)
\end{align*}\]

となっている．よって， $a_n=2\times3^{n-1}$ と表すことができるであろう．

　一般に，初項 $a$，公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$ について，最初のいくつかを書き出してみると次のようになっている．

\[\begin{align*}
a_1&=a\ \ \ =ar^0\\[5pt]
a_2&=a_1r=ar^1\\[5pt]
a_3&=a_2r=ar^2\\[5pt]
a_4&=a_3r=ar^3\\[5pt]
&\vdots
\end{align*}\]

　これらはいずれも，初項 $a$ に公比の $r$ を何回か掛けたものとなっている．それは「(自分の番号)$-1$」回である．よって $n$ 番目の項は，$a\times r^{n-1}$ となるであろう．

等比数列の一般項　初項 $a$，公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項は，\[a_n=a\,r^{n-1}\]

例題　初項2，公比 $-3$ の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

2.3　等比数列の和

まずは具体例から

　冒頭から用いている等比数列の和 2+6+18+54+162 を計算してみよう．

　ただし，等差数列の場合がそうであったように，ここでも計算の工夫を行うことを考えたい．

　$S=2+6+18+54+162$ とする．そして次が決定打となる．

両辺に公比の3を掛ける

　この一見素朴な操作が，やがて思いもよらぬ展開をもたらすことになる．

\[3S=3(2+6+18+54+162)\]

　右辺の3を，カッコの中に分配すると

\[3S=6+18+54+162+486\]

　$S$ と $3S$ の式を縦に並べて引き算をしよう．

　ただし，$3S$ の右辺は，上下の数字が揃うように，少し右にずらして書いておく：

\[\begin{array}{rl}
S=&2+6+18+54+162\\[5pt]
-)\ \ \ 3S=&\hspace{7mm}6+18+54+162+486\\[5pt]
\hline
-2S=&2\hspace{37mm}-486
\end{array}\]

※最後の486は，上下で引き算を行った結果，マイナスになっていることに注意しよう．
($0-486=-486$)

　さて，引いたあとの右辺の光景を眺めると，思わず息を呑んでしまう．

　あれほど整然と並んでいた項たちが，忽然と姿を消し，あとにはたった2つの項がポツリと取り残されているに過ぎない．

　そして気が付けば，答えはもう目の前に迫っている．