階差数列の基本と一般項を求める公式をスライドでやさしく学ぶ

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数学B　第2章　数列

4. 階差数列

　数列の差をとって得られる数列を，元の数列の階差数列という．

例1　$2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 12$
　差をとると，$1,\ 2,\ 3,\ 4$
　　→　階差数列は初項1，公差1の等差数列

例2　$2,\ 5,\ 11,\ 23,\ 47$
　差をとると，$3,\ 6,\ 12,\ 24$
　　→　階差数列は初項3，公比2の等比数列

例3　$2,\ 10,\ 30,\ 68,\ 130,\ 222$
　差をとると，$8,\ 20,\ 38,\ 62,\ 92$
　もう一度差をとると，$12,\ 18,\ 24,\ 30$
　　→　第2階差数列は初項12，公比6の等差数列

　例3のように，複数回にわたって差をとるとき，差をとった順に「第1階差数列，第2階差数列，$\cdots$」という．

　例として次の数列 $\{a_n\}$ を考えよう．

\[1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots\]

　この数列は差が一定でないから等差数列ではない．また隣りどうしの比も一定ではないから等比数列でもない．従ってこの数列の一般項を直ちに求めることは難しい．

　ところがこの数列の階差数列をとってみると，

\[1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots\]

といった具合に初項1，公差2の等差数列となっており，大変なじみやすいものとなっている．

　この階差数列を $\{b_n\}$ とおくと，一般項は $b_n=2n-1$ であり，

\[\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2\]

というように第 $n$ 項までの和も簡単に計算できる．

　実は階差数列の和が求まれば，得体の知れぬ元の数列の一般項も求めることができる．その考え方を次に示す．

　例えば $a_4=10$ を考えてみよう．

　$a_4-a_3=b_3$ である．

　同様にして，

\[\begin{align*}
a_4-a_3&=b_3\\[5pt]
a_3-a_2&=b_2\\[5pt]
a_2-a_1&=b_1\\[5pt]
\end{align*}\]

　　これらを辺々加えると，左辺は途中で $a_3$ と $a_2$ がキャンセルされて

　よって　$a_4=a_1+(b_1+b_2+b_3)$

　つまり $a_4$ は，$a_1$ に階差数列 $\{b_n\}$ の初項から第3項までの和として求めることができる．これは他の項についても同様である．

　よって第 $n$ 項の $a_n$ は，$b\geqq2$ のとき

\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=1+(n-1)^2=n^2-2n+2\]

　これは $n=1$ のときも成り立つ．

　従って数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることができた．

　上の例のような考え方を用いると，一般の場合は次のようになる：