8．群数列【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第1章　数列

	スライド	ノート	問題
1. 等差数列
2. 等比数列
3. Σ(シグマ)と和の公式
4. 階差数列
5. 数列の和と一般項
6. 差をとってできる数列の応用
7. (等差)×(等比)の和
8. 群数列
9. 隣接2項間漸化式(その1)
10. 隣接2項間漸化式(その2)
11. 隣接3項間漸化式

演習問題

解答

(1)　$n\geqq2$ のとき，第 $n$ 群の初項は第 $n-1$ 群の末項の次の項であると捉えると，第 $n$ 群の初項はから最初から数えて

$(n-1)^2+1=n^2-2n+2$ (番目)

の項である．( $n=1$ のときもこれでよい．)

　与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると，一般項は $a_n=2n$ となるから第 $n$ 群の初項は，

$a_{n^2-2n+2}=\underline{2(n^2-2n+2)}$

(2)　第 $n$ 群は，初項 $2(n^2-2n+2)$，末項 $n^2$，項数 $2n-1$ の等差数列であるから，等差数列の和の公式により

\[\begin{align*}
(\mbox{求値})&=\dfrac12(2n-1)\{(2(n^2-2n+2)+n^2\}\\[5pt]
&=\underline{\dfrac12(2n-1)(3n^2-4n+4)}
\end{align*}\]

(3)　第9群の末項は $9^2=81$ 番目の項であるから

\[a_{81}=2\cdot81=162\]

　第10群の4番目の数は162の4つあとの偶数であるから $\underline{170}$．

(4)　$a_n=2n=1000$ を解くと $n=500$ であるから，1000は第500項である． $n^2\leqq500$ 満たす最大の自然数 $n$ は $22^2=484$，$23^2=529$ より22．よって第1000項は第23群の16番目の項である．

解答